Ta có hình vẽ như sau:

Hai đường tròn (O)(O)(O) và (O′)(O')(O′) tiếp xúc ngoài tại A
Cùng tiếp xúc với đường thẳng ddd tại BBB và CCC
B∈(O)B \in (O)B∈(O), C∈(O′)C \in (O')C∈(O′)
Tiếp tuyến của (O)(O)(O) tại BBB cắt BCBCBC tại MMM

a) Chứng minh MAMAMA tiếp xúc với (O′)(O')(O′)
Vì ddd là tiếp tuyến chung tại B,CB, CB,C nên:

OB⊥d,O′C⊥dOB \perp d,\quad O'C \perp dOB⊥d,O′C⊥dHai đường tròn tiếp xúc ngoài tại AAA nên:

O,A,O′ thẳng haˋngO, A, O' \text{ thẳng hàng}O,A,O′ thẳng haˋngXét tam giác OBCOBCOBC:

Ta có:

OB∥O′COB \parallel O'COB∥O′CVì cùng vuông góc với ddd.

Suy ra:

∠OBC=∠O′CB\angle OBC = \angle O'CB∠OBC=∠O′CBXét tứ giác OBCO′OBCO'OBCO′, suy ra:

∠OBC+∠O′CB=180∘\angle OBC + \angle O'CB = 180^\circ∠OBC+∠O′CB=180∘Do đó OBCO′OBCO'OBCO′ nội tiếp.

Suy ra:

∠OAC=∠OBC\angle OAC = \angle OBC∠OAC=∠OBCMà MBMBMB là tiếp tuyến của (O)(O)(O) tại BBB nên:

∠MBA=∠OAB\angle MBA = \angle OAB∠MBA=∠OABMà O,A,O′O, A, O'O,A,O′ thẳng hàng nên:

∠OAB=∠O′AB\angle OAB = \angle O'AB∠OAB=∠O′ABSuy ra:

∠MBA=∠O′AB\angle MBA = \angle O'AB∠MBA=∠O′ABTheo định lý góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, suy ra:

MAMAMA là tiếp tuyến của (O′)(O')(O′) tại AAA.

b) Chứng minh MMM là trung điểm của BCBCBC
Từ (a):
MAMAMA là tiếp tuyến của (O′)(O')(O′) tại AAA.
Ta có hai tiếp tuyến từ MMM tới (O′)(O')(O′):

MA=MCMA = MCMA=MCCũng có hai tiếp tuyến từ MMM tới (O)(O)(O):

MB=MAMB = MAMB=MASuy ra:

MB=MCMB = MCMB=MCMà MMM nằm trên BCBCBC, nên MMM là trung điểm của BCBCBC.

c) Tam giác ABCABCABC vuông
Vì MMM là trung điểm của BCBCBC và:

MB=MC=MAMB = MC = MAMB=MC=MANên:

M laˋ taˆm đường troˋn ngoại tieˆˊp tam giaˊc ABCM \text{ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác } ABCM laˋ taˆm đường troˋn ngoại tieˆˊp tam giaˊc ABCSuy ra:

BC laˋ đường kıˊnh⇒∠BAC=90∘BC \text{ là đường kính} \Rightarrow \angle BAC = 90^\circBC laˋ đường kıˊnh⇒∠BAC=90∘
✅ Hoàn tất chứng minh.