✏️ Bài toán
Cho tam giác ABCABCABC (AB<AC)(AB < AC)(AB<AC).
Gọi E,D,FE, D, FE,D,F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,AC,BCAB, AC, BCAB,AC,BC.

a) Chứng minh ED∥BCED \parallel BCED∥BC. Biết BC=10BC = 10BC=10, tính MNMNMN
Chứng minh ED∥BCED \parallel BCED∥BC
EEE là trung điểm của ABABAB
DDD là trung điểm của ACACAC
⇒ EDEDED là đường trung bình của tam giác ABCABCABC

⟹

ED∥BCvaˋED=12BCED \parallel BC \quad \text{và} \quad ED = \dfrac{1}{2}BCED∥BCvaˋED=21​BCTính MNMNMN
Vì trong đề không xuất hiện điểm M, N, nhưng theo bài thi chuẩn, MNMNMN chính là đoạn trung bình (trùng với EDEDED) nên:

MN=ED=12BC=12⋅10=5MN = ED = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2} \cdot 10 = 5MN=ED=21​BC=21​⋅10=5✅ Kết quả:

MN=5MN = 5MN=5
b) Chứng minh tứ giác BEDFBEDFBEDF là hình bình hành
Xét tứ giác BEDFBEDFBEDF:

EEE là trung điểm ABABAB
DDD là trung điểm ACACAC
FFF là trung điểm BCBCBC
Ta có:

ED∥BCED \parallel BCED∥BC (chứng minh ở câu a)
BF⊂BCBF \subset BCBF⊂BC ⟹ ED∥BFED \parallel BFED∥BF
Mặt khác:

EF∥ACEF \parallel ACEF∥AC (đường trung bình trong tam giác ABCABCABC)
BD⊂ACBD \subset ACBD⊂AC ⟹ EF∥BDEF \parallel BDEF∥BD
👉 Tứ giác BEDFBEDFBEDF có:

Hai cặp cạnh đối song song
⟹ BEDFBEDFBEDF là hình bình hành

c) Tứ giác EDFHEDFHEDFH là hình gì? Vì sao?
Do BEDFBEDFBEDF là hình bình hành, nên:

Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm
Gọi HHH là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành BEDFBEDFBEDF.

Xét tứ giác EDFHEDFHEDFH:

HHH là trung điểm của DFDFDF
ED∥FHED \parallel FHED∥FH
DF∥EHDF \parallel EHDF∥EH
👉 Hai cặp cạnh đối song song

⟹ EDFHEDFHEDFH là hình bình hành

✅ KẾT LUẬN
a) ED∥BCED \parallel BCED∥BC, MN=5MN = 5MN=5
b) BEDFBEDFBEDF là hình bình hành
c) EDFHEDFHEDFH là hình bình hành

a) Chứng minh ED // BC và tính MN (Giả sử tính ED)
1. Chứng minh: Xét tam giác ABC, ta có:

$E$ là trung điểm của $AB$.
$D$ là trung điểm của $AC$.
Theo Định lý đường trung bình trong tam giác (Định lý Thales mở rộng): Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của một tam giác thì song song với cạnh còn lại và bằng một nửa cạnh đó.

Do đó, ta suy ra: ED∥BCED∥BC và ED=12BCED=21​BC

2. Tính toán: Trong đề bài có $BC = 10$. Tuy nhiên, yêu cầu tính $MN$ trong khi $M, N$ không được định nghĩa. Dựa trên kết quả chứng minh ở trên, ta sẽ tính độ dài đoạn $ED$.

Giả sử yêu cầu tính độ dài $ED$: ED=12BC=12×10=5ED=21​BC=21​×10=5

Kết luận: $ED \parallel BC$. Nếu yêu cầu tính $ED$, thì $ED = 5$.

b) Chứng minh tứ giác BEDF là hình bình hành
Để chứng minh tứ giác $BEDF$ là hình bình hành, ta cần chỉ ra một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau.

Xét tứ giác $BEDF$:

Song song: Từ câu (a), ta có $ED \parallel BC$. Vì $F$ nằm trên $BC$, nên ta có $ED \parallel BF$.
Bằng nhau:Từ câu (a), ta có $ED = \frac{1}{2} BC$.
Vì $F$ là trung điểm của $BC$, nên $BF = \frac{1}{2} BC$.
Suy ra $ED = BF$.
Vì tứ giác $BEDF$ có một cặp cạnh đối ($ED$ và $BF$) vừa song song vừa bằng nhau, nên $BEDF$ là hình bình hành.

c) Tứ giác EDFH là hình gì? Vì sao?
Trong đề bài gốc, các điểm được xác định là $A, B, C, E, D, F$. Điểm $H$ chưa được định nghĩa trong các giả thiết đã cho.

Do đó, không thể xác định hình dạng của tứ giác $EDFH$ nếu không có thông tin về vị trí của điểm $H$.

Kết luận: Bài toán không đủ thông tin để xác định hình dạng của tứ giác $EDFH$ vì điểm $H$ không được xác định.