Cho:
Tam giác ABCABCABC vuông tại AAA (AB<AC)(AB<AC)(AB<AC).
III là trung điểm của BCBCBC.
Trên tia đối của tia IAIAIA lấy DDD sao cho ID=IAID=IAID=IA.
Trên tia ABABAB lấy EEE sao cho BE=BABE=BABE=BA.

a) Chứng minh tứ giác ABDCABDCABDC là hình chữ nhật
Bước 1: Chứng minh III là trung điểm của ADADAD
Vì:

ID=IA⇒I laˋ trung điểm của ADID = IA \Rightarrow I \text{ là trung điểm của } ADID=IA⇒I laˋ trung điểm của ADMà đề bài cho:

I laˋ trung điểm của BCI \text{ là trung điểm của } BCI laˋ trung điểm của BC⇒ Hai đoạn ADADAD và BCBCBC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn.

Bước 2: Chứng minh ABDCABDCABDC là hình bình hành
Xét tứ giác ABDCABDCABDC:

III là trung điểm của ADADAD
III là trung điểm của BCBCBC
⇒ Hai đường chéo ADADAD và BCBCBC cắt nhau tại trung điểm.

⇒ ABDCABDCABDC là hình bình hành.

Bước 3: Chứng minh có một góc vuông
Ta có:

∠BAC=90∘\angle BAC = 90^\circ∠BAC=90∘Mà ABDCABDCABDC là hình bình hành ⇒

AB∥DC,AC∥BDAB \parallel DC,\quad AC \parallel BDAB∥DC,AC∥BD⇒

∠ABD=∠BAC=90∘\angle ABD = \angle BAC = 90^\circ∠ABD=∠BAC=90∘⇒ ABDC là hình chữ nhật.

b) Chứng minh tứ giác BEDCBEDCBEDC là hình bình hành
Ta có:

BE=BABE = BABE=BA⇒ BBB là trung điểm của AEAEAE.

Ở câu (a) đã có:

I laˋ trung điểm của ADI \text{ là trung điểm của } ADI laˋ trung điểm của ADXét tứ giác BEDCBEDCBEDC:

BBB là trung điểm của AEAEAE
III là trung điểm của ADADAD
Ta xét hai tam giác:

Xét tam giác ABEABEABE và tam giác CBDCBDCBD:

BA=BE,BI=BI,∠ABI=∠EBIBA = BE,\quad BI = BI,\quad \angle ABI = \angle EBIBA=BE,BI=BI,∠ABI=∠EBI⇒ △ABI≅△EBI\triangle ABI \cong \triangle EBI△ABI≅△EBI

⇒ AI=IDAI = IDAI=ID

⇒ ED∥BCED \parallel BCED∥BC và BE∥DCBE \parallel DCBE∥DC

⇒ BEDC là hình bình hành.

c) Chứng minh EK=2KIEK = 2KIEK=2KI
Xét tam giác EIDEIDEID:

BBB là trung điểm của AEAEAE
III là trung điểm của ADADAD
⇒ BIBIBI là đường trung bình của tam giác EADEADEAD

⇒

BI∥ED,BI=12EDBI \parallel ED,\quad BI = \frac{1}{2}EDBI∥ED,BI=21​EDTrong tam giác EIDEIDEID:

K=EI∩BDK = EI \cap BDK=EI∩BD
BDBDBD là đường trung tuyến của tam giác EIDEIDEID
⇒ KKK chia EIEIEI theo tỉ lệ:

EK=2KIEK = 2KIEK=2KI
✅ Kết luận:
EK=2KIEK = 2KIEK=2KI