a) Chứng minh AI = MH
- Xét tứ giác AIMH, ta có:
$\hat{A}$ = 90$°$ (do $∆$ABC vuông tại A).
$\widehat{AIM}$ = 90$°$ (do MI $\perp$ AB).
$\widehat{AHM}$ = 90$°$ (do MH $\perp$ AC).
- Tứ giác có 3 góc vuông là hình chữ nhật.
- Trong hình chữ nhật, các cặp cạnh đối bằng nhau. Vậy AI = MH và AM = IH.
b) Chứng minh AM // HN
- Trong hình chữ nhật AIMH, gọi K là giao điểm hai đường chéo AM và IH. Theo tính chất hình chữ nhật, K là trung điểm của mỗi đường:
=> KA = KM = KH = KI.
- Xét$∆$ABC có M là trung điểm BC và MH // AB (vì cùng vuông góc với AC).
- Theo định lý đường trung bình: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.
=> H là trung điểm của AC.
- Xét $∆$AMC ta có:
K là trung điểm AM (chứng minh ở bước 1).
KN // AC (giả thiết).
+ Tương tự định lý trên, N phải là trung điểm của MC.
- Xét $∆$MAC, đoạn thẳng HN nối trung điểm H của AC và N của MC.
=> Theo tính chất đường trung bình: HN // AM.
c) Chứng minh D là trung điểm IE
- Từ câu b, ta có AM // HN. Mà D nằm trên đường thẳng AM, nên AD // HN và KM // HN.
- Xét $∆$IHN:
+ Ta có K là trung điểm của IH.
+ Đường thẳng qua K song song với HN (chính là đường thẳng chứa AM).
+ Đường thẳng này cắt IN tại một điểm (gọi là D'). Theo tính chất đường trung bình, D' sẽ là trung điểm của IN.
+ Tuy nhiên, đề bài cho IE $\perp$ NH và D là giao của IE với AM.
+ Vì AM // NH và IE $\perp$ NH
=> IE $\perp$ AM tại D.
- Trong tam giác vuông IHE, đường thẳng KD (thuộc AM) đi qua trung điểm K của cạnh huyền IH và song song với cạnh HE (do cùng vuông góc với IE).
- Vậy D phải là trung điểm của IE.
d) Chứng minh AM là phân giác của góc BAF
- Xét $∆$AIE: Có AD vừa là đường cao (AD $\perp$ IE), vừa là đường trung tuyến (D là trung điểm IE chứng minh ở câu c).
=> $∆$AIE cân tại A.
=> AD cũng là đường phân giác của $∆$IAE.
=> $\widehat{IAD} = \widehat{EAD}$ (1)
- Ta lại có: AM trùng với đường thẳng chứa AD, và I nằm trên AB.
- Khi AE cắt MH tại F, dựa vào tính chất đối xứng của hình chữ nhật và các đường song song MH // AB, ta có các cặp tam giác đồng dạng/bằng nhau tương ứng dẫn đến tia AM chia đôi góc tạo bởi AB và AF.
=> Từ (1), kết hợp với vị trí các điểm, ta có: AM là tia phân giác của $\widehat{BAF}$.