Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

- Ta nhận thấy x² + 2xy gợi nhớ đến hằng đẳng thức (x + y)² = x² + 2xy + y². Do đó, ta sẽ tách 2y² thành y² + y²:
=> P = (x² + 2xy + y²) + y² - 2y + 2026
- Tiếp tục tạo hằng đẳng thức cho biến y
+ Biểu thức (y² - 2y) gợi nhớ đến hằng đẳng thức (y - 1)² = y² - 2y + 1. Ta sẽ mượn số 1 từ số 2026:
=> P = (x + y)² + (y² - 2y + 1) + 2025
=> P = (x + y)² + (y - 1)² + 2025
- Ta có các tính chất của bình phương một số như sau:
(x + y)² $\geq$ 0 với mọi x, y
(y - 1)² $\geq$ 0 với mọi y
=> Cộng các vế của bất đẳng thức, ta được:
(x + y)² + (y - 1)² + 2025 $\geq$ 0 + 0 + 2025
=> P $\geq$ 2025
- Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi cả hai bình phương đồng thời bằng 0:
(y - 1)² = 0 => y - 1 = 0 => y = 1
(x + y)² = 0 => x + y = 0 => x + 1 = 0 => x = -1
=> Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 2025, đạt được khi x = -1 và y = 1.

...Xem thêm

Answer 2

- Ta nhận thấy x² + 2xy gợi nhớ đến hằng đẳng thức (x + y)² = x² + 2xy + y². Do đó, ta sẽ tách 2y² thành y² + y²:
=> P = (x² + 2xy + y²) + y² - 2y + 2026
- Tiếp tục tạo hằng đẳng thức cho biến y
+ Biểu thức (y² - 2y) gợi nhớ đến hằng đẳng thức (y - 1)² = y² - 2y + 1. Ta sẽ mượn số 1 từ số 2026:
=> P = (x + y)² + (y² - 2y + 1) + 2025
=> P = (x + y)² + (y - 1)² + 2025
- Ta có các tính chất của bình phương một số như sau:
(x + y)² $\geq$ 0 với mọi x, y
(y - 1)² $\geq$ 0 với mọi y
=> Cộng các vế của bất đẳng thức, ta được:
(x + y)² + (y - 1)² + 2025 $\geq$ 0 + 0 + 2025
=> P $\geq$ 2025
- Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi cả hai bình phương đồng thời bằng 0:
(y - 1)² = 0 => y - 1 = 0 => y = 1
(x + y)² = 0 => x + y = 0 => x + 1 = 0 => x = -1
=> Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 2025, đạt được khi x = -1 và y = 1.

Answer 3

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P=x2+2y2+2xy−2y+2026cap P equals x squared plus 2 y squared plus 2 x y minus 2 y plus 2026
?=?2+2?2+2??−2?+2026
, ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi về dạng tổng các bình phương, bởi vì Pcap P
?
là một tam thức bậc hai có nhiều biến (hệ số của x2x squared
?2
, y2y squared
?2
, xyx y
??
). Ta nhóm các hạng tử liên quan đến xx
?
và yy
?
lại rồi phân tích thành bình phương hoàn hảo.
Nhóm các hạng tử:
P=(x2+2xy+y2)+y2−2y+2026cap P equals open paren x squared plus 2 x y plus y squared close paren plus y squared minus 2 y plus 2026
?=(?2+2??+?2)+?2−2?+2026

(Ta nhận thấy x2+2xy+y2x squared plus 2 x y plus y squared
?2+2??+?2
là hằng đẳng thức (x+y)2open paren x plus y close paren squared
(?+?)2
)
Hoàn thành bình phương cho biến yy
?
:
P=(x+y)2+(y2−2y+1)−1+2026cap P equals open paren x plus y close paren squared plus open paren y squared minus 2 y plus 1 close paren minus 1 plus 2026
?=(?+?)2+(?2−2?+1)−1+2026

(Ta thêm và bớt 1 để tạo thành bình phương (y−1)2open paren y minus 1 close paren squared
(?−1)2
)
Viết lại biểu thức:
P=(x+y)2+(y−1)2+2025cap P equals open paren x plus y close paren squared plus open paren y minus 1 close paren squared plus 2025
?=(?+?)2+(?−1)2+2025

Tìm giá trị nhỏ nhất:
Vì (x+y)2≥0open paren x plus y close paren squared is greater than or equal to 0
(?+?)2≥0
và (y−1)2≥0open paren y minus 1 close paren squared is greater than or equal to 0
(?−1)2≥0
với mọi x,yx comma y
?,?
, nên:
P≥0+0+2025cap P is greater than or equal to 0 plus 0 plus 2025
?≥0+0+2025

P≥2025cap P is greater than or equal to 2025
?≥2025

Dấu bằng xảy ra (Giá trị nhỏ nhất):
Dấu bằng xảy ra khi cả hai bình phương bằng 0: y−1=0⇒y=1y minus 1 equals 0 implies y equals 1
?−1=0⇒?=1

x+y=0⇒x+1=0⇒x=-1x plus y equals 0 implies x plus 1 equals 0 implies x equals negative 1
?+?=0⇒?+1=0⇒?=−1

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức Pcap P
?
là 2025, đạt được khi x=-1x equals negative 1
?=−1
và y=1y equals 1
?=1
.

...Xem thêm

Answer 4

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P=x2+2y2+2xy−2y+2026cap P equals x squared plus 2 y squared plus 2 x y minus 2 y plus 2026
?=?2+2?2+2??−2?+2026
, ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi về dạng tổng các bình phương, bởi vì Pcap P
?
là một tam thức bậc hai có nhiều biến (hệ số của x2x squared
?2
, y2y squared
?2
, xyx y
??
). Ta nhóm các hạng tử liên quan đến xx
?
và yy
?
lại rồi phân tích thành bình phương hoàn hảo.
Nhóm các hạng tử:
P=(x2+2xy+y2)+y2−2y+2026cap P equals open paren x squared plus 2 x y plus y squared close paren plus y squared minus 2 y plus 2026
?=(?2+2??+?2)+?2−2?+2026

(Ta nhận thấy x2+2xy+y2x squared plus 2 x y plus y squared
?2+2??+?2
là hằng đẳng thức (x+y)2open paren x plus y close paren squared
(?+?)2
)
Hoàn thành bình phương cho biến yy
?
:
P=(x+y)2+(y2−2y+1)−1+2026cap P equals open paren x plus y close paren squared plus open paren y squared minus 2 y plus 1 close paren minus 1 plus 2026
?=(?+?)2+(?2−2?+1)−1+2026

(Ta thêm và bớt 1 để tạo thành bình phương (y−1)2open paren y minus 1 close paren squared
(?−1)2
)
Viết lại biểu thức:
P=(x+y)2+(y−1)2+2025cap P equals open paren x plus y close paren squared plus open paren y minus 1 close paren squared plus 2025
?=(?+?)2+(?−1)2+2025

Tìm giá trị nhỏ nhất:
Vì (x+y)2≥0open paren x plus y close paren squared is greater than or equal to 0
(?+?)2≥0
và (y−1)2≥0open paren y minus 1 close paren squared is greater than or equal to 0
(?−1)2≥0
với mọi x,yx comma y
?,?
, nên:
P≥0+0+2025cap P is greater than or equal to 0 plus 0 plus 2025
?≥0+0+2025

P≥2025cap P is greater than or equal to 2025
?≥2025

Dấu bằng xảy ra (Giá trị nhỏ nhất):
Dấu bằng xảy ra khi cả hai bình phương bằng 0: y−1=0⇒y=1y minus 1 equals 0 implies y equals 1
?−1=0⇒?=1

x+y=0⇒x+1=0⇒x=-1x plus y equals 0 implies x plus 1 equals 0 implies x equals negative 1
?+?=0⇒?+1=0⇒?=−1

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức Pcap P
?
là 2025, đạt được khi x=-1x equals negative 1
?=−1
và y=1y equals 1
?=1
.

2 câu trả lời 507

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 8