Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P=x2+2y2+2xy−2y+2026cap P equals x squared plus 2 y squared plus 2 x y minus 2 y plus 2026
𝑃=𝑥2+2𝑦2+2𝑥𝑦−2𝑦+2026
, ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi về dạng tổng các bình phương, bởi vì Pcap P
𝑃
là một tam thức bậc hai có nhiều biến (hệ số của x2x squared
𝑥2
, y2y squared
𝑦2
, xyx y
𝑥𝑦
). Ta nhóm các hạng tử liên quan đến xx
𝑥
và yy
𝑦
lại rồi phân tích thành bình phương hoàn hảo. 
Nhóm các hạng tử:
P=(x2+2xy+y2)+y2−2y+2026cap P equals open paren x squared plus 2 x y plus y squared close paren plus y squared minus 2 y plus 2026
𝑃=(𝑥2+2𝑥𝑦+𝑦2)+𝑦2−2𝑦+2026

(Ta nhận thấy x2+2xy+y2x squared plus 2 x y plus y squared
𝑥2+2𝑥𝑦+𝑦2
là hằng đẳng thức (x+y)2open paren x plus y close paren squared
(𝑥+𝑦)2
)
Hoàn thành bình phương cho biến yy
𝑦
:
P=(x+y)2+(y2−2y+1)−1+2026cap P equals open paren x plus y close paren squared plus open paren y squared minus 2 y plus 1 close paren minus 1 plus 2026
𝑃=(𝑥+𝑦)2+(𝑦2−2𝑦+1)−1+2026

(Ta thêm và bớt 1 để tạo thành bình phương (y−1)2open paren y minus 1 close paren squared
(𝑦−1)2
)
Viết lại biểu thức:
P=(x+y)2+(y−1)2+2025cap P equals open paren x plus y close paren squared plus open paren y minus 1 close paren squared plus 2025
𝑃=(𝑥+𝑦)2+(𝑦−1)2+2025

Tìm giá trị nhỏ nhất:
Vì (x+y)2≥0open paren x plus y close paren squared is greater than or equal to 0
(𝑥+𝑦)2≥0
và (y−1)2≥0open paren y minus 1 close paren squared is greater than or equal to 0
(𝑦−1)2≥0
với mọi x,yx comma y
𝑥,𝑦
, nên:
P≥0+0+2025cap P is greater than or equal to 0 plus 0 plus 2025
𝑃≥0+0+2025

P≥2025cap P is greater than or equal to 2025
𝑃≥2025

Dấu bằng xảy ra (Giá trị nhỏ nhất):
Dấu bằng xảy ra khi cả hai bình phương bằng 0: y−1=0⇒y=1y minus 1 equals 0 implies y equals 1
𝑦−1=0⇒𝑦=1

x+y=0⇒x+1=0⇒x=-1x plus y equals 0 implies x plus 1 equals 0 implies x equals negative 1
𝑥+𝑦=0⇒𝑥+1=0⇒𝑥=−1
 

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức Pcap P
𝑃
là 2025, đạt được khi x=-1x equals negative 1
𝑥=−1
và y=1y equals 1
𝑦=1
.