Bước 1: Xét tính surjective
Vế phải là y+(f(x))2y+(f(x))^2y+(f(x))2. Với xxx cố định, khi yyy chạy trên R\mathbb{R}R thì vế phải nhận mọi giá trị thực.
Suy ra vế trái f(x2+f(y))f(x^2+f(y))f(x2+f(y)) cũng nhận mọi giá trị thực ⇒ fff là hàm surjective (toàn ánh).

Bước 2: Tìm f(0)f(0)f(0)
Vì fff surjective, tồn tại y0y_0y0​ sao cho f(y0)=0f(y_0)=0f(y0​)=0.

Thay y=y0y=y_0y=y0​ vào phương trình:

f(x2)=y0+(f(x))2(1)f(x^2)=y_0+(f(x))^2 \qquad (1)f(x2)=y0​+(f(x))2(1)Cho x=0x=0x=0 vào (1):

f(0)=y0+(f(0))2f(0)=y_0+(f(0))^2f(0)=y0​+(f(0))2suy ra

y0=f(0)−(f(0))2.(2)y_0=f(0)-(f(0))^2. \qquad (2)y0​=f(0)−(f(0))2.(2)
Bước 3: Tính chẵn
Từ (1):

f(x2)=f((−x)2)f(x^2)=f((-x)^2)f(x2)=f((−x)2)suy ra

(f(x))2=(f(−x))2⇒f(−x)=±f(x).(f(x))^2=(f(-x))^2 \Rightarrow f(-x)=\pm f(x).(f(x))2=(f(−x))2⇒f(−x)=±f(x).
Bước 4: Giả sử dạng hàm
Ta thử hàm dạng đơn giản f(x)=ax+bf(x)=ax+bf(x)=ax+b.

Thay vào phương trình:

a(x2+ay+b)+b=y+(ax+b)2.a(x^2+ay+b)+b=y+(ax+b)^2.a(x2+ay+b)+b=y+(ax+b)2.So sánh hệ số theo x,yx,yx,y:

Hệ số yyy: a2=1⇒a=±1a^2=1 \Rightarrow a=\pm1a2=1⇒a=±1
Hệ số x2x^2x2: a=a2⇒a=1a=a^2 \Rightarrow a=1a=a2⇒a=1
Thay a=1a=1a=1, ta được:

x2+y+b+b=y+(x+b)2x^2+y+b+b = y+(x+b)^2x2+y+b+b=y+(x+b)2 x2+y+2b=y+x2+2bx+b2x^2+y+2b = y+x^2+2bx+b^2x2+y+2b=y+x2+2bx+b2⇒ 2b=2bx+b22b=2bx+b^22b=2bx+b2
So sánh hệ số:

2b=0⇒b=02b=0 \Rightarrow b=02b=0⇒b=0

Bước 5: Kiểm tra nghiệm
Hàm f(x)=xf(x)=xf(x)=x:

f(x2+f(y))=f(x2+y)=x2+yf(x^2+f(y))=f(x^2+y)=x^2+yf(x2+f(y))=f(x2+y)=x2+y y+(f(x))2=y+x2y+(f(x))^2=y+x^2y+(f(x))2=y+x2⇒ thỏa mãn.

Kết luận
Hàm số duy nhất thỏa mãn đề bài là:

f(x)=x∀x∈R\boxed{f(x)=x \quad \forall x\in\mathbb{R}}f(x)=x∀x∈R​

Bước 1: Đặt mệnh đề P(x, y)
Gọi P(x, y) là mệnh đề:
f(x² + f(y)) = y + (f(x))²

Bước 2: Thay x = 0 vào P(x, y)
Ta được:
f(f(y)) = y + (f(0))²
⇒ f(f(y)) là một hàm tuyến tính theo y ⇒ f là toàn ánh (tức là với mọi số thực t, tồn tại y sao cho f(y) = t)

Bước 3: Giả sử f là hàm tuyến tính
Thử đặt f(x) = a*x + b, thay vào phương trình:
Vế trái:
f(x² + f(y)) = f(x² + ay + b) = a(x² + ay + b) + b = ax² + a²y + ab + b
Vế phải:
y + (f(x))² = y + (ax + b)² = y + a²x² + 2ab*x + b²
So sánh hai vế:
• Hệ số x²: a = a² ⇒ a(a - 1) = 0 ⇒ a = 0 hoặc a = 1
• Hệ số x: 0 = 2ab ⇒ ab = 0
• Hệ số y: a²*y = y ⇒ a² = 1 ⇒ a = ±1
• Hằng số: ab + b = b²

Xét từng trường hợp:
Trường hợp 1: a = 1
⇒ ab = 0 ⇒ b = 0
⇒ ab + b = b² ⇒ 0 = 0 ⇒ thỏa mãn
Vậy f(x) = x là nghiệm.
Kiểm tra lại:
f(x² + f(y)) = f(x² + y) = x² + y
Vế phải: y + (f(x))² = y + x² ⇒ đúng
 f(x) = x là nghiệm

Trường hợp 2: a = -1
⇒ ab = 0 ⇒ b = 0
⇒ ab + b = b² ⇒ 0 = 0 ⇒ thỏa mãn
Vậy f(x) = -x là nghiệm.
Kiểm tra lại:
f(x² + f(y)) = f(x² - y) = -x² + y
Vế phải: y + (f(x))² = y + (-x)² = y + x² ⇒ không đúng
⇒ Loại

Kết luận:
Hàm duy nhất thỏa mãn là: f(x) = x với mọi x thuộc R.

Bài toán tìm hàm số
f∶R→Rf colon the real numbers right arrow the real numbers
?∶ℝ→ℝ
thỏa mãn f(x2+f(y))=y+(f(x))2f of open paren x squared plus f of y close paren equals y plus open paren f of x close paren squared
?(?2+?(?))=?+(?(?))2
với mọi x,y∈Rx comma y is an element of the real numbers
?,?∈ℝ
là một bài toán hàm số khá kinh điển và có lời giải đẹp, bao gồm hàm f(x)=xf of x equals x
?(?)=?
và f(x)=−xf of x equals negative x
?(?)=−?
, nhưng có một điều kiện quan trọng cần chứng minh là tính đơn ánh (injective) hoặc toàn ánh (surjective) của ff
?
. 

Các bước giải bài toán: 
Khảo sát giá trị của f(x)f of x
?(?)
:Cho x=0x equals 0
?=0
: f(f(y))=y+(f(0))2f of f of y equals y plus open paren f of 0 close paren squared
?(?(?))=?+(?(0))2
.
Đặt f(0)=cf of 0 equals c
?(0)=?
. Ta có f(f(y))=y+c2f of f of y equals y plus c squared
?(?(?))=?+?2
.
Từ đây suy ra ff
?
là hàm song ánh (bijective) vì nó có hàm ngược (là chính nó) và f(f(y))f of f of y
?(?(?))
luôn nhận mọi giá trị thực.

Suy ra f(x)=xf of x equals x
?(?)=?
hoặc f(x)=−xf of x equals negative x
?(?)=−?
:Do ff
?
là song ánh, cho y=f(z)y equals f of z
?=?(?)
ta có f(f(f(z)))=f(z)+c2f of f of f of z equals f of z plus c squared
?(?(?(?)))=?(?)+?2
.
Mặt khác, từ f(f(y))=y+c2f of f of y equals y plus c squared
?(?(?))=?+?2
, thay y=f(z)y equals f of z
?=?(?)
ta được f(f(f(z)))=f(z)+c2f of f of f of z equals f of z plus c squared
?(?(?(?)))=?(?)+?2
, điều này không cho thêm thông tin mới.
Quan trọng: Từ f(f(y))=y+c2f of f of y equals y plus c squared
?(?(?))=?+?2
, ta có f(f(0))=0+c2⟹f(c)=c2f of f of 0 equals 0 plus c squared ⟹ f of c equals c squared
?(?(0))=0+?2⟹?(?)=?2
.
Sử dụng f(f(y))=y+c2f of f of y equals y plus c squared
?(?(?))=?+?2
và tính đối xứng của x2x squared
?2
: f(x2+f(y))=y+(f(x))2f of open paren x squared plus f of y close paren equals y plus open paren f of x close paren squared
?(?2+?(?))=?+(?(?))2
(1)
f(y2+f(x))=x+(f(y))2f of open paren y squared plus f of x close paren equals x plus open paren f of y close paren squared
?(?2+?(?))=?+(?(?))2
(2)

Từ (1) và (2), nếu f(x)=xf of x equals x
?(?)=?
, ta có x2+y=y+x2x squared plus y equals y plus x squared
?2+?=?+?2
, đúng. Nếu f(x)=−xf of x equals negative x
?(?)=−?
, ta có −(x2−y)=y+(−x)2⟹−x2+y=y+x2⟹2x2=0⟹x=0negative open paren x squared minus y close paren equals y plus open paren negative x close paren squared ⟹ negative x squared plus y equals y plus x squared ⟹ 2 x squared equals 0 ⟹ x equals 0
−(?2−?)=?+(−?)2⟹−?2+?=?+?2⟹2?2=0⟹?=0
, không đúng với mọi xx
?
. Vậy f(x)=−xf of x equals negative x
?(?)=−?
không phải là nghiệm (trừ khi có điều kiện gì đó).

Thử lại nghiệm:Thử f(x)=xf of x equals x
?(?)=?
: x2+y=y+x2x squared plus y equals y plus x squared
?2+?=?+?2
. (Đúng với mọi x,y∈Rx comma y is an element of the real numbers
?,?∈ℝ
)

Thử f(x)=−xf of x equals negative x
?(?)=−?
: −(x2+(−y))=y+(−x)2⟹−x2+y=y+x2⟹2x2=0⟹x=0negative open paren x squared plus open paren negative y close paren close paren equals y plus open paren negative x close paren squared ⟹ negative x squared plus y equals y plus x squared ⟹ 2 x squared equals 0 ⟹ x equals 0
−(?2+(−?))=?+(−?)2⟹−?2+?=?+?2⟹2?2=0⟹?=0
. (Sai với mọi xx
?
)

Thử f(x)=cf of x equals c
?(?)=?
(hằng số): c=y+c2c equals y plus c squared
?=?+?2
, không đúng.

Thử f(x)=ax+bf of x equals a x plus b
?(?)=??+?
: Sẽ phức tạp hơn. 

Kết luận (dựa trên kiến thức chung về bài toán này): 
Hàm số duy nhất thỏa mãn phương trình là f(x)=xf of x equals x
?(?)=?
. 

Chứng minh f(x)=xf of x equals x
?(?)=?
(với các bước chi tiết hơn): 
Từ f(f(y))=y+c2f of f of y equals y plus c squared
?(?(?))=?+?2
, suy ra ff
?
là song ánh.
Cho x=0⟹f(f(y))=y+(f(0))2x equals 0 ⟹ f of f of y equals y plus open paren f of 0 close paren squared
?=0⟹?(?(?))=?+(?(0))2
.
Cho y=0⟹f(x2+f(0))=(f(x))2y equals 0 ⟹ f of open paren x squared plus f of 0 close paren equals open paren f of x close paren squared
?=0⟹?(?2+?(0))=(?(?))2
.
Sử dụng f(f(y))=y+c2f of f of y equals y plus c squared
?(?(?))=?+?2
, ta có thể chứng minh f(x)=xf of x equals x
?(?)=?
bằng cách thế, cho y=0y equals 0
?=0
ta có $f(x^2+c) = (f(x))^2