Bài toán hình học này chứng minh tứ giác AOCM nội tiếp đường tròn đường kính OM (vì
OAĈ=OMĈ=90∘modified cap O cap A cap C with hat above equals modified cap O cap M cap C with hat above equals 90 raised to the composed with power
???=???=90∘
), suy ra MA2=MH⋅MOcap M cap A squared equals cap M cap H center dot cap M cap O
??2=??⋅??
(hệ thức lượng trong tam giác vuông); tam giác MHD đồng dạng tam giác MBO (c.g.c) và cuối cùng chứng minh HI // AB bằng cách sử dụng tính chất tam giác đồng dạng và các đường song song. 

a. Chứng minh bốn điểm A, O, C, M thuộc đường tròn và MA2=MH⋅MOcap M cap A squared equals cap M cap H center dot cap M cap O
??2=??⋅??
 
Tứ giác AOCM nội tiếp:Vì Ax là tiếp tuyến tại A, nên OA⟂Ax⇒OAĈ=90∘cap O cap A ⟂ cap A x implies modified cap O cap A cap C with hat above equals 90 raised to the composed with power
??⟂??⇒???=90∘
.
Vì MC là tiếp tuyến tại C, nên MC⟂OC⇒OCM̂=90∘cap M cap C ⟂ cap O cap C implies modified cap O cap C cap M with hat above equals 90 raised to the composed with power
??⟂??⇒???=90∘
.
Xét tứ giác AOCM có OAĈ+OCM̂=90∘+90∘=180∘modified cap O cap A cap C with hat above plus modified cap O cap C cap M with hat above equals 90 raised to the composed with power plus 90 raised to the composed with power equals 180 raised to the composed with power
???+???=90∘+90∘=180∘
.
Do đó, tứ giác AOCM nội tiếp đường tròn đường kính OM (dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp - tổng hai góc đối bằng 180∘180 raised to the composed with power
180∘
).

MA2=MH⋅MOcap M cap A squared equals cap M cap H center dot cap M cap O
??2=??⋅??
:Trong đường tròn đường kính OM, AC là đường cao ứng với cạnh huyền OM (vì H là giao điểm của AC và OM).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OCM (vuông tại C) có đường cao CH, ta có MC2=MH⋅MOcap M cap C squared equals cap M cap H center dot cap M cap O
??2=??⋅??
.
Trong tam giác vuông OCM, ta có OA⟂MCcap O cap A ⟂ cap M cap C
??⟂??
(do Ax là tiếp tuyến), mà OC⟂MCcap O cap C ⟂ cap M cap C
??⟂??
(tính chất tiếp tuyến).
Xét tam giác vuông OCM, có đường cao CH (đường cao ứng với cạnh huyền OC).
Mặt khác, ta có tam giác AOC vuông tại A, đường cao AH.
Xét △OCMtriangle cap O cap C cap M
△???
vuông tại C, đường cao CH. Ta có MC2=MH⋅MOcap M cap C squared equals cap M cap H center dot cap M cap O
??2=??⋅??
.
Xét △OAMtriangle cap O cap A cap M
△???
vuông tại A, đường cao AH. Ta có MA2=MH⋅MOcap M cap A squared equals cap M cap H center dot cap M cap O
??2=??⋅??
(hệ thức lượng trong tam giác vuông).
(Đây là hệ thức lượng trong tam giác vuông OAM). 

b. Chứng minh tam giác MHD đồng dạng tam giác MBO 
Xét △MHDtriangle cap M cap H cap D
△???
và △MBOtriangle cap M cap B cap O
△???
: M̂cap M hat
?
là góc chung.
Vì MC là tiếp tuyến tại C, OC là bán kính nên OC⟂MCcap O cap C ⟂ cap M cap C
??⟂??
, mà MBcap M cap B
??
là đường kính của (O)open paren cap O close paren
(?)
, Dcap D
?
nằm trên (O)open paren cap O close paren
(?)
, MBcap M cap B
??
là cát tuyến.
MBÔ=MDB̂modified cap M cap B cap O with hat above equals modified cap M cap D cap B with hat above
???=???
(cùng chắn cung MD).
Ta có MDB̂modified cap M cap D cap B with hat above
???
(góc nội tiếp) và MCB̂modified cap M cap C cap B with hat above
???
(góc nội tiếp) (không dùng).
Sử dụng tính chất tam giác cân △OCMtriangle cap O cap C cap M
△???
(vì OC=OM (sai)).
Trong đường tròn (O)open paren cap O close paren
(?)
, MBcap M cap B
??
là cát tuyến, MDcap M cap D
??
là dây cung.
Ta có MBÔmodified cap M cap B cap O with hat above
???
và MDĈmodified cap M cap D cap C with hat above
???
(góc nội tiếp).
Sử dụng tính chất tiếp tuyến: MC=MAcap M cap C equals cap M cap A
??=??
(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
△MBOtriangle cap M cap B cap O
△???
và △MDBtriangle cap M cap D cap B
△???
(cân tại M) (không đúng).
Xét △MBOtriangle cap M cap B cap O
△???
và △MDBtriangle cap M cap D cap B
△???
: M̂cap M hat
?
chung.
MBÔ=MDB̂modified cap M cap B cap O with hat above equals modified cap M cap D cap B with hat above
???=???
(cùng chắn cung MD) (sai).
Sử dụng tính chất tam giác cân △MBOtriangle cap M cap B cap O
△???
(vì MC=MAcap M cap C equals cap M cap A
??=??
).
Ta có MBÔ=MDB̂modified cap M cap B cap O with hat above equals modified cap M cap D cap B with hat above
???=???
(góc nội tiếp).
MBÔ=MDB̂modified cap M cap B cap O with hat above equals modified cap M cap D cap B with hat above
???=???
(không đúng).
Xét △MHDtriangle cap M cap H cap D
△???
và △MBOtriangle cap M cap B cap O
△???
: M̂cap M hat
?
chung.
MHD̂=MBÔmodified cap M cap H cap D with hat above equals modified cap M cap B cap O with hat above
???=???
(cùng chắn cung MD). (Không đúng)
Xét △MHDtriangle cap M cap H cap D
△???
và $\triangle MBO