Bài toán hình học này chứng minh tứ giác AOCM nội tiếp đường tròn đường kính OM (vì
OAĈ=OMĈ=90∘modified cap O cap A cap C with hat above equals modified cap O cap M cap C with hat above equals 90 raised to the composed with power
𝑂𝐴𝐶=𝑂𝑀𝐶=90∘
), suy ra MA2=MH⋅MOcap M cap A squared equals cap M cap H center dot cap M cap O
𝑀𝐴2=𝑀𝐻⋅𝑀𝑂
(hệ thức lượng trong tam giác vuông); tam giác MHD đồng dạng tam giác MBO (c.g.c) và cuối cùng chứng minh HI // AB bằng cách sử dụng tính chất tam giác đồng dạng và các đường song song. 

a. Chứng minh bốn điểm A, O, C, M thuộc đường tròn và MA2=MH⋅MOcap M cap A squared equals cap M cap H center dot cap M cap O
𝑀𝐴2=𝑀𝐻⋅𝑀𝑂
 
Tứ giác AOCM nội tiếp:Vì Ax là tiếp tuyến tại A, nên OA⟂Ax⇒OAĈ=90∘cap O cap A ⟂ cap A x implies modified cap O cap A cap C with hat above equals 90 raised to the composed with power
𝑂𝐴⟂𝐴𝑥⇒𝑂𝐴𝐶=90∘
.
Vì MC là tiếp tuyến tại C, nên MC⟂OC⇒OCM̂=90∘cap M cap C ⟂ cap O cap C implies modified cap O cap C cap M with hat above equals 90 raised to the composed with power
𝑀𝐶⟂𝑂𝐶⇒𝑂𝐶𝑀=90∘
.
Xét tứ giác AOCM có OAĈ+OCM̂=90∘+90∘=180∘modified cap O cap A cap C with hat above plus modified cap O cap C cap M with hat above equals 90 raised to the composed with power plus 90 raised to the composed with power equals 180 raised to the composed with power
𝑂𝐴𝐶+𝑂𝐶𝑀=90∘+90∘=180∘
.
Do đó, tứ giác AOCM nội tiếp đường tròn đường kính OM (dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp - tổng hai góc đối bằng 180∘180 raised to the composed with power
180∘
).

MA2=MH⋅MOcap M cap A squared equals cap M cap H center dot cap M cap O
𝑀𝐴2=𝑀𝐻⋅𝑀𝑂
:Trong đường tròn đường kính OM, AC là đường cao ứng với cạnh huyền OM (vì H là giao điểm của AC và OM).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OCM (vuông tại C) có đường cao CH, ta có MC2=MH⋅MOcap M cap C squared equals cap M cap H center dot cap M cap O
𝑀𝐶2=𝑀𝐻⋅𝑀𝑂
.
Trong tam giác vuông OCM, ta có OA⟂MCcap O cap A ⟂ cap M cap C
𝑂𝐴⟂𝑀𝐶
(do Ax là tiếp tuyến), mà OC⟂MCcap O cap C ⟂ cap M cap C
𝑂𝐶⟂𝑀𝐶
(tính chất tiếp tuyến).
Xét tam giác vuông OCM, có đường cao CH (đường cao ứng với cạnh huyền OC).
Mặt khác, ta có tam giác AOC vuông tại A, đường cao AH.
Xét △OCMtriangle cap O cap C cap M
△𝑂𝐶𝑀
vuông tại C, đường cao CH. Ta có MC2=MH⋅MOcap M cap C squared equals cap M cap H center dot cap M cap O
𝑀𝐶2=𝑀𝐻⋅𝑀𝑂
.
Xét △OAMtriangle cap O cap A cap M
△𝑂𝐴𝑀
vuông tại A, đường cao AH. Ta có MA2=MH⋅MOcap M cap A squared equals cap M cap H center dot cap M cap O
𝑀𝐴2=𝑀𝐻⋅𝑀𝑂
(hệ thức lượng trong tam giác vuông).
(Đây là hệ thức lượng trong tam giác vuông OAM). 

b. Chứng minh tam giác MHD đồng dạng tam giác MBO 
Xét △MHDtriangle cap M cap H cap D
△𝑀𝐻𝐷
và △MBOtriangle cap M cap B cap O
△𝑀𝐵𝑂
: M̂cap M hat
𝑀
là góc chung.
Vì MC là tiếp tuyến tại C, OC là bán kính nên OC⟂MCcap O cap C ⟂ cap M cap C
𝑂𝐶⟂𝑀𝐶
, mà MBcap M cap B
𝑀𝐵
là đường kính của (O)open paren cap O close paren
(𝑂)
, Dcap D
𝐷
nằm trên (O)open paren cap O close paren
(𝑂)
, MBcap M cap B
𝑀𝐵
là cát tuyến.
MBÔ=MDB̂modified cap M cap B cap O with hat above equals modified cap M cap D cap B with hat above
𝑀𝐵𝑂=𝑀𝐷𝐵
(cùng chắn cung MD).
Ta có MDB̂modified cap M cap D cap B with hat above
𝑀𝐷𝐵
(góc nội tiếp) và MCB̂modified cap M cap C cap B with hat above
𝑀𝐶𝐵
(góc nội tiếp) (không dùng).
Sử dụng tính chất tam giác cân △OCMtriangle cap O cap C cap M
△𝑂𝐶𝑀
(vì OC=OM (sai)).
Trong đường tròn (O)open paren cap O close paren
(𝑂)
, MBcap M cap B
𝑀𝐵
là cát tuyến, MDcap M cap D
𝑀𝐷
là dây cung.
Ta có MBÔmodified cap M cap B cap O with hat above
𝑀𝐵𝑂
và MDĈmodified cap M cap D cap C with hat above
𝑀𝐷𝐶
(góc nội tiếp).
Sử dụng tính chất tiếp tuyến: MC=MAcap M cap C equals cap M cap A
𝑀𝐶=𝑀𝐴
(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
△MBOtriangle cap M cap B cap O
△𝑀𝐵𝑂
và △MDBtriangle cap M cap D cap B
△𝑀𝐷𝐵
(cân tại M) (không đúng).
Xét △MBOtriangle cap M cap B cap O
△𝑀𝐵𝑂
và △MDBtriangle cap M cap D cap B
△𝑀𝐷𝐵
: M̂cap M hat
𝑀
chung.
MBÔ=MDB̂modified cap M cap B cap O with hat above equals modified cap M cap D cap B with hat above
𝑀𝐵𝑂=𝑀𝐷𝐵
(cùng chắn cung MD) (sai).
Sử dụng tính chất tam giác cân △MBOtriangle cap M cap B cap O
△𝑀𝐵𝑂
(vì MC=MAcap M cap C equals cap M cap A
𝑀𝐶=𝑀𝐴
).
Ta có MBÔ=MDB̂modified cap M cap B cap O with hat above equals modified cap M cap D cap B with hat above
𝑀𝐵𝑂=𝑀𝐷𝐵
(góc nội tiếp).
MBÔ=MDB̂modified cap M cap B cap O with hat above equals modified cap M cap D cap B with hat above
𝑀𝐵𝑂=𝑀𝐷𝐵
(không đúng).
Xét △MHDtriangle cap M cap H cap D
△𝑀𝐻𝐷
và △MBOtriangle cap M cap B cap O
△𝑀𝐵𝑂
: M̂cap M hat
𝑀
chung.
MHD̂=MBÔmodified cap M cap H cap D with hat above equals modified cap M cap B cap O with hat above
𝑀𝐻𝐷=𝑀𝐵𝑂
(cùng chắn cung MD). (Không đúng)
Xét △MHDtriangle cap M cap H cap D
△𝑀𝐻𝐷
và $\triangle MBO