a) Chứng minh tứ giác AFHE là hình chữ nhật 
Xét tứ giác AFHE:Ta có AH⟂BCcap A cap H ⟂ cap B cap C
??⟂??
(do AH là đường cao) và HE⟂ABcap H cap E ⟂ cap A cap B
??⟂??
(theo đề bài), nên ∠AEH=90∘angle cap A cap E cap H equals 90 raised to the composed with power
∠???=90∘
.
Ta có AH⟂BCcap A cap H ⟂ cap B cap C
??⟂??
và HF⟂ACcap H cap F ⟂ cap A cap C
??⟂??
(theo đề bài), nên ∠AFH=90∘angle cap A cap F cap H equals 90 raised to the composed with power
∠???=90∘
.
Tứ giác ABC vuông tại A, nên ∠BAC=90∘angle cap B cap A cap C equals 90 raised to the composed with power
∠???=90∘
, suy ra ∠EAF=90∘angle cap E cap A cap F equals 90 raised to the composed with power
∠???=90∘
.
Vì AFHE có ba góc vuông ( ∠EAF,∠AFH,∠AEHangle cap E cap A cap F comma angle cap A cap F cap H comma angle cap A cap E cap H
∠???,∠???,∠???
), nên AFHE là hình chữ nhật. 

b) Chứng minh AMFE là hình bình hành và tam giác CHM là tam giác cân 
Chứng minh AMFE là hình bình hành:Vì AFHE là hình chữ nhật, nên AF//HEcap A cap F / / cap H cap E
??//??
và AE//HFcap A cap E / / cap H cap F
??//??
.
M đối xứng với H qua F (tức F là trung điểm của HM) và AF//HEcap A cap F / / cap H cap E
??//??
(từ trên).
Do đó, AMFE có AF//MEcap A cap F / / cap M cap E
??//??
(vì AF//HEcap A cap F / / cap H cap E
??//??
) và AE//MFcap A cap E / / cap M cap F
??//??
(vì AE//HFcap A cap E / / cap H cap F
??//??
), nên AMFE là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết: có hai cặp cạnh đối song song).

Chứng minh tam giác CHM là tam giác cân:Ta có M đối xứng với H qua F, nên F là trung điểm của HM (theo định nghĩa đối xứng).
Trong tam giác CHM, CF là đường trung tuyến (vì F là trung điểm HM).
Từ phần a, ta có ∠AFH=90∘angle cap A cap F cap H equals 90 raised to the composed with power
∠???=90∘
(HF vuông góc AC), suy ra HF⟂ACcap H cap F ⟂ cap A cap C
??⟂??
.
Vì HF⟂ACcap H cap F ⟂ cap A cap C
??⟂??
, nên tam giác CHM có đường trung tuyến CF đồng thời là đường cao (CF ⟂⟂
⟂
HM), suy ra tam giác CHM cân tại C. 

c) Chứng minh M, A, N thẳng hàng 
Xét điểm N:N đối xứng với H qua E (tức E là trung điểm của HN).
Ta có AH là đường cao, HE⟂ABcap H cap E ⟂ cap A cap B
??⟂??
, HF⟂ACcap H cap F ⟂ cap A cap C
??⟂??
.
Xét tam giác AHN, E là trung điểm HN và AE⟂HNcap A cap E ⟂ cap H cap N
??⟂??
(do HE⟂ABcap H cap E ⟂ cap A cap B
??⟂??
, E nằm trên AB), nên tam giác AHN cân tại A (AE là đường cao đồng thời trung tuyến).
Từ đó suy ra AN=AHcap A cap N equals cap A cap H
??=??
.

Xét tam giác AMN:Ta đã chứng minh AMFE là hình bình hành, suy ra AM//HEcap A cap M / / cap H cap E
??//??
và AE//HFcap A cap E / / cap H cap F
??//??
.
Ta có HE⟂ABcap H cap E ⟂ cap A cap B
??⟂??
, vậy AM⟂ABcap A cap M ⟂ cap A cap B
??⟂??
(vì AM//HEcap A cap M / / cap H cap E
??//??
).
Ta đã chứng minh AFHE là hình chữ nhật, suy ra AH⟂HFcap A cap H ⟂ cap H cap F
??⟂??
.
Ta có E là trung điểm HN (do N đối xứng H qua E).
Xét tam giác HMN, AE là đường trung tuyến (vì E là trung điểm HN) và AE⟂HNcap A cap E ⟂ cap H cap N
??⟂??
(do HE⟂ABcap H cap E ⟂ cap A cap B
??⟂??
và A nằm trên đường thẳng chứa AE), suy ra tam giác HMN cân tại A, vậy AHcap A cap H
??
là đường cao và đường trung tuyến của tam giác HMN.
Do A là trung điểm của HN và H là điểm đối xứng qua F (M