a) Chứng minh tứ giác AFHE là hình chữ nhật 
Xét tứ giác AFHE:Ta có AH⟂BCcap A cap H ⟂ cap B cap C
𝐴𝐻⟂𝐵𝐶
(do AH là đường cao) và HE⟂ABcap H cap E ⟂ cap A cap B
𝐻𝐸⟂𝐴𝐵
(theo đề bài), nên ∠AEH=90∘angle cap A cap E cap H equals 90 raised to the composed with power
∠𝐴𝐸𝐻=90∘
.
Ta có AH⟂BCcap A cap H ⟂ cap B cap C
𝐴𝐻⟂𝐵𝐶
và HF⟂ACcap H cap F ⟂ cap A cap C
𝐻𝐹⟂𝐴𝐶
(theo đề bài), nên ∠AFH=90∘angle cap A cap F cap H equals 90 raised to the composed with power
∠𝐴𝐹𝐻=90∘
.
Tứ giác ABC vuông tại A, nên ∠BAC=90∘angle cap B cap A cap C equals 90 raised to the composed with power
∠𝐵𝐴𝐶=90∘
, suy ra ∠EAF=90∘angle cap E cap A cap F equals 90 raised to the composed with power
∠𝐸𝐴𝐹=90∘
.
Vì AFHE có ba góc vuông ( ∠EAF,∠AFH,∠AEHangle cap E cap A cap F comma angle cap A cap F cap H comma angle cap A cap E cap H
∠𝐸𝐴𝐹,∠𝐴𝐹𝐻,∠𝐴𝐸𝐻
), nên AFHE là hình chữ nhật. 

b) Chứng minh AMFE là hình bình hành và tam giác CHM là tam giác cân 
Chứng minh AMFE là hình bình hành:Vì AFHE là hình chữ nhật, nên AF//HEcap A cap F / / cap H cap E
𝐴𝐹//𝐻𝐸
và AE//HFcap A cap E / / cap H cap F
𝐴𝐸//𝐻𝐹
.
M đối xứng với H qua F (tức F là trung điểm của HM) và AF//HEcap A cap F / / cap H cap E
𝐴𝐹//𝐻𝐸
(từ trên).
Do đó, AMFE có AF//MEcap A cap F / / cap M cap E
𝐴𝐹//𝑀𝐸
(vì AF//HEcap A cap F / / cap H cap E
𝐴𝐹//𝐻𝐸
) và AE//MFcap A cap E / / cap M cap F
𝐴𝐸//𝑀𝐹
(vì AE//HFcap A cap E / / cap H cap F
𝐴𝐸//𝐻𝐹
), nên AMFE là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết: có hai cặp cạnh đối song song).

Chứng minh tam giác CHM là tam giác cân:Ta có M đối xứng với H qua F, nên F là trung điểm của HM (theo định nghĩa đối xứng).
Trong tam giác CHM, CF là đường trung tuyến (vì F là trung điểm HM).
Từ phần a, ta có ∠AFH=90∘angle cap A cap F cap H equals 90 raised to the composed with power
∠𝐴𝐹𝐻=90∘
(HF vuông góc AC), suy ra HF⟂ACcap H cap F ⟂ cap A cap C
𝐻𝐹⟂𝐴𝐶
.
Vì HF⟂ACcap H cap F ⟂ cap A cap C
𝐻𝐹⟂𝐴𝐶
, nên tam giác CHM có đường trung tuyến CF đồng thời là đường cao (CF ⟂⟂
⟂
HM), suy ra tam giác CHM cân tại C. 

c) Chứng minh M, A, N thẳng hàng 
Xét điểm N:N đối xứng với H qua E (tức E là trung điểm của HN).
Ta có AH là đường cao, HE⟂ABcap H cap E ⟂ cap A cap B
𝐻𝐸⟂𝐴𝐵
, HF⟂ACcap H cap F ⟂ cap A cap C
𝐻𝐹⟂𝐴𝐶
.
Xét tam giác AHN, E là trung điểm HN và AE⟂HNcap A cap E ⟂ cap H cap N
𝐴𝐸⟂𝐻𝑁
(do HE⟂ABcap H cap E ⟂ cap A cap B
𝐻𝐸⟂𝐴𝐵
, E nằm trên AB), nên tam giác AHN cân tại A (AE là đường cao đồng thời trung tuyến).
Từ đó suy ra AN=AHcap A cap N equals cap A cap H
𝐴𝑁=𝐴𝐻
.

Xét tam giác AMN:Ta đã chứng minh AMFE là hình bình hành, suy ra AM//HEcap A cap M / / cap H cap E
𝐴𝑀//𝐻𝐸
và AE//HFcap A cap E / / cap H cap F
𝐴𝐸//𝐻𝐹
.
Ta có HE⟂ABcap H cap E ⟂ cap A cap B
𝐻𝐸⟂𝐴𝐵
, vậy AM⟂ABcap A cap M ⟂ cap A cap B
𝐴𝑀⟂𝐴𝐵
(vì AM//HEcap A cap M / / cap H cap E
𝐴𝑀//𝐻𝐸
).
Ta đã chứng minh AFHE là hình chữ nhật, suy ra AH⟂HFcap A cap H ⟂ cap H cap F
𝐴𝐻⟂𝐻𝐹
.
Ta có E là trung điểm HN (do N đối xứng H qua E).
Xét tam giác HMN, AE là đường trung tuyến (vì E là trung điểm HN) và AE⟂HNcap A cap E ⟂ cap H cap N
𝐴𝐸⟂𝐻𝑁
(do HE⟂ABcap H cap E ⟂ cap A cap B
𝐻𝐸⟂𝐴𝐵
và A nằm trên đường thẳng chứa AE), suy ra tam giác HMN cân tại A, vậy AHcap A cap H
𝐴𝐻
là đường cao và đường trung tuyến của tam giác HMN.
Do A là trung điểm của HN và H là điểm đối xứng qua F (M