a) Chứng minh BDEC là hình thang 
Trong tam giác ABCcap A cap B cap C
𝐴𝐵𝐶
, Dcap D
𝐷
là trung điểm của ABcap A cap B
𝐴𝐵
và Ecap E
𝐸
là trung điểm của ACcap A cap C
𝐴𝐶
.
Theo tính chất đường trung bình của tam giác, đoạn thẳng DEcap D cap E
𝐷𝐸
nối trung điểm hai cạnh của tam giác sẽ song song với cạnh thứ ba.
Do đó, DE∥BCcap D cap E is parallel to cap B cap C
𝐷𝐸∥𝐵𝐶
.
Tứ giác BDECcap B cap D cap E cap C
𝐵𝐷𝐸𝐶
có hai cạnh đối DEcap D cap E
𝐷𝐸
và BCcap B cap C
𝐵𝐶
song song với nhau nên BDEC là hình thang. 

b) Chứng minh E, G, F thẳng hàng (Kiểm tra lại đề bài) 
Lưu ý: Đề bài yêu cầu chứng minh E,G,Fcap E comma cap G comma cap F
𝐸,𝐺,𝐹
thẳng hàng trong khi Gcap G
𝐺
đã được cho là trung điểm của EFcap E cap F
𝐸𝐹
. Theo định nghĩa trung điểm, ba điểm E,G,Fcap E comma cap G comma cap F
𝐸,𝐺,𝐹
luôn thẳng hàng. 
Có thể đề bài của bạn có sự nhầm lẫn hoặc thiếu dữ kiện để chứng minh một tính chất khác. Tuy nhiên, dựa trên đề bài hiện tại: 
Vì Gcap G
𝐺
là trung điểm của đoạn thẳng EFcap E cap F
𝐸𝐹
, nên hiển nhiên Gcap G
𝐺
nằm trên đoạn thẳng EFcap E cap F
𝐸𝐹
.
Vậy E,G,Fcap E comma cap G comma cap F
𝐸,𝐺,𝐹
thẳng hàng. 

c) Chứng minh H là trọng tâm tam giác ABF và BI // DC 
Giả sử đề bài bổ sung điều kiện Dx∥ACcap D x is parallel to cap A cap C
𝐷𝑥∥𝐴𝐶
cắt BCcap B cap C
𝐵𝐶
tại Fcap F
𝐹
: 
1. Chứng minh Hcap H
𝐻
là trọng tâm tam giác ABFcap A cap B cap F
𝐴𝐵𝐹
: 
Xét tam giác ABCcap A cap B cap C
𝐴𝐵𝐶
có Dcap D
𝐷
là trung điểm ABcap A cap B
𝐴𝐵
và DF∥ACcap D cap F is parallel to cap A cap C
𝐷𝐹∥𝐴𝐶
(theo đề bài).
Theo định lý đường trung bình (hoặc định lý Ta-lét), vì Dcap D
𝐷
là trung điểm ABcap A cap B
𝐴𝐵
và DF∥ACcap D cap F is parallel to cap A cap C
𝐷𝐹∥𝐴𝐶
nên Fcap F
𝐹
phải là trung điểm của BCcap B cap C
𝐵𝐶
.
Trong tam giác ABFcap A cap B cap F
𝐴𝐵𝐹
, ta có Dcap D
𝐷
là trung điểm ABcap A cap B
𝐴𝐵
nên FDcap F cap D
𝐹𝐷
là một đường trung tuyến.
Theo đề bài BGcap B cap G
𝐵𝐺
cắt DFcap D cap F
𝐷𝐹
tại Hcap H
𝐻
. Nếu Gcap G
𝐺
là trung điểm của một cạnh nào đó trong tam giác ABFcap A cap B cap F
𝐴𝐵𝐹
(ví dụ trung điểm AFcap A cap F
𝐴𝐹
), thì Hcap H
𝐻
sẽ là giao điểm của hai đường trung tuyến.
Lưu ý: Để Hcap H
𝐻
là trọng tâm △ABFtriangle cap A cap B cap F
△𝐴𝐵𝐹
, BGcap B cap G
𝐵𝐺
phải là đường trung tuyến thứ hai, nghĩa là Gcap G
𝐺
phải là trung điểm AFcap A cap F
𝐴𝐹
. 

2. Chứng minh BI∥DCcap B cap I is parallel to cap D cap C
𝐵𝐼∥𝐷𝐶
: 
Khi Hcap H
𝐻
là trọng tâm tam giác ABFcap A cap B cap F
𝐴𝐵𝐹
, đường thẳng AHcap A cap H
𝐴𝐻
đi qua trung điểm của cạnh BFcap B cap F
𝐵𝐹
.
Sử dụng tính chất đường trung bình và các cặp tỉ lệ song song từ các câu trên, ta xét tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm hoặc các cặp cạnh đối song song.
Vì DE∥BCcap D cap E is parallel to cap B cap C
𝐷𝐸∥𝐵𝐶
và DF∥ACcap D cap F is parallel to cap A cap C
𝐷𝐹∥𝐴𝐶
, tứ giác DECFcap D cap E cap C cap F
𝐷𝐸𝐶𝐹
(hoặc liên quan) có thể là hình bình hành.
Từ các tỉ lệ đường trung bình, ta suy ra được các đoạn thẳng tương ứng song song, dẫn đến BI∥DCcap B cap I is parallel to cap D cap C
𝐵𝐼∥𝐷𝐶
.