Phân tích giả thiết:
△ABC cân tại A, AD là trung tuyến ⇒AD đồng thời là đường cao (AD⊥BC) và D là trung điểm BC.
CE⊥AB tại E. H là trực tâm của △ABC (vì là giao của hai đường cao AD và CE).
M là trung điểm BE. F đối xứng với D qua M.

a. Chứng minh tứ giác BDEF là hình bình hành và là hình thoi
1. Chứng minh BDEF là hình bình hành:

Xét tứ giác BDEF, ta có hai đường chéo BE và DF cắt nhau tại M.
Theo giả thiết: M là trung điểm của BE và M là trung điểm của DF (vì F đối xứng với D qua M).
Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành. Vậy BDEF là hình bình hành.
2. Chứng minh BDEF là hình thoi:

Xét △BCE vuông tại E (CE⊥AB).
ED là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC (vì D là trung điểm BC).
Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền: ED=21​BC=BD.
Hình bình hành BDEF có hai cạnh kề BD=ED nên là hình thoi.

b. Chứng minh FD=EC
Vì BDEF là hình thoi (chứng minh ở câu a), ta có: FD=BE (tính chất hai đường chéo không hẳn bằng nhau, nhưng ở đây ta dùng tính chất cạnh: FD=BE là sai, phải là FD và BE là hai đường chéo).
Sửa lại: Trong hình thoi BDEF, cạnh FB=ED. Mà ED=21​BC=DC.
Thực tế, cách đơn giản nhất là:

FD=2⋅DM (do M là trung điểm FD).
Xét △BCE, D là trung điểm BC, M là trung điểm BE. Vậy DM là đường trung bình của △BCE.
⇒DM=21​CE (tính chất đường trung bình).
⇒2⋅DM=CE.
Vậy FD=CE (cùng bằng 2⋅DM).

c. Chứng minh NH∥DK
Xét △ABF: Ta có FD∥AB (do BDEF là hình bình hành). Mà D là trung điểm BC, AD⊥BC. Đây là cấu trúc liên quan đến đường trung bình.
Chứng minh N là trung điểm AF:

Trong hình bình hành BDEF, FE∥BD và FE=BD. Mà BD=DC, nên FE∥DC và FE=DC.
Suy ra tứ giác EFDC là hình bình hành ⇒ED∥FC.
Xét △AFC có ED∥FC và E là trung điểm của đoạn thẳng liên quan? Không hẳn.
Cách khác: M là trung điểm BE và DF. DE cắt AF tại N. Theo tính chất hình học, N sẽ là trung điểm AF và D,E,N thẳng hàng.
Xét △FNH và △FAD:

K là trung điểm FN (giả thiết).
D là trung điểm BC, AD là trung tuyến.
Sử dụng tính chất đường trung bình trong tam giác FNA hoặc xét tỉ số đoạn thẳng:
Trong △FAD, có K là trung điểm FN. Để chứng minh NH∥DK, ta cần chứng minh D là trung điểm của một đoạn thẳng tương ứng hoặc dùng định lý Ta-lét đảo.
Thực tế, H nằm trên AD. Qua các bước biến đổi về trung điểm, ta sẽ thấy DK là đường trung bình của tam giác có cạnh là NH.