Bước 1: Xác định loại tứ giác AEDF 
Xét tứ giác AEDFcap A cap E cap D cap F
????
: 
Góc Â=90∘cap A hat equals 90 raised to the composed with power
?=90∘
(do tam giác ABCcap A cap B cap C
???
vuông tại Acap A
?
).
DE⟂AB⇒AED̂=90∘cap D cap E ⟂ cap A cap B implies modified cap A cap E cap D with hat above equals 90 raised to the composed with power
??⟂??⇒???=90∘
.
DF⟂AC⇒AFD̂=90∘cap D cap F ⟂ cap A cap C implies modified cap A cap F cap D with hat above equals 90 raised to the composed with power
??⟂??⇒???=90∘
.
Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật. 

Câu a: 
Tứ giác AEDFcap A cap E cap D cap F
????
là hình chữ nhật vì có EAF̂=AED̂=AFD̂=90∘modified cap E cap A cap F with hat above equals modified cap A cap E cap D with hat above equals modified cap A cap F cap D with hat above equals 90 raised to the composed with power
???=???=???=90∘
. 

Bước 2: Chứng minh các hình bình hành 
Xét tứ giác ADBMcap A cap D cap B cap M
????
: Ta có Ecap E
?
là trung điểm của ABcap A cap B
??
(do Dcap D
?
là trung điểm BCcap B cap C
??
và DE//ACcap D cap E / / cap A cap C
??//??
). Theo đề bài, Ecap E
?
cũng là trung điểm của DMcap D cap M
??
( EM=EDcap E cap M equals cap E cap D
??=??
). Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành.
Xét tứ giác ADCNcap A cap D cap C cap N
????
: Tương tự, Fcap F
?
là trung điểm của ACcap A cap C
??
và Fcap F
?
là trung điểm của DNcap D cap N
??
. Do đó ADCNcap A cap D cap C cap N
????
là hình bình hành. 

Câu b: 
ADBMcap A cap D cap B cap M
????
là hình bình hành vì hai đường chéo ABcap A cap B
??
và DMcap D cap M
??
cắt nhau tại trung điểm Ecap E
?
của mỗi đường.
ADCNcap A cap D cap C cap N
????
là hình bình hành vì hai đường chéo ACcap A cap C
??
và DNcap D cap N
??
cắt nhau tại trung điểm Fcap F
?
của mỗi đường. 

Bước 3: Chứng minh A là trung điểm của MN 
Vì ADBMcap A cap D cap B cap M
????
là hình bình hành ⇒AM//BDimplies cap A cap M / / cap B cap D
⇒??//??
và AM=BDcap A cap M equals cap B cap D
??=??
.
Vì ADCNcap A cap D cap C cap N
????
là hình bình hành ⇒AN//CDimplies cap A cap N / / cap C cap D
⇒??//??
và AN=CDcap A cap N equals cap C cap D
??=??
.
Mà B,D,Ccap B comma cap D comma cap C
?,?,?
thẳng hàng và DB=DCcap D cap B equals cap D cap C
??=??
(do Dcap D
?
là trung điểm BCcap B cap C
??
).
Từ đó suy ra AM//ANcap A cap M / / cap A cap N
??//??
(cùng song song với đường thẳng BCcap B cap C
??
) và AM=ANcap A cap M equals cap A cap N
??=??
. Theo tiên đề Euclid, M,A,Ncap M comma cap A comma cap N
?,?,?
thẳng hàng. 

Câu c: 
Vì M,A,Ncap M comma cap A comma cap N
?,?,?
thẳng hàng và AM=ANcap A cap M equals cap A cap N
??=??
nên Acap A
?
là trung điểm của đoạn thẳng MNcap M cap N
??
. 

Bước 4: Điều kiện để AEDF là hình vuông 
Hình chữ nhật AEDFcap A cap E cap D cap F
????
sẽ trở thành hình vuông khi có hai cạnh kề bằng nhau, tức là AE=AFcap A cap E equals cap A cap F
??=??
. 
AE=12ABcap A cap E equals one-half cap A cap B
??=12??
và AF=12ACcap A cap F equals one-half cap A cap C
??=12??
.
AE=AF⇔12AB=12AC⇔AB=ACcap A cap E equals cap A cap F implies and is implied by one-half cap A cap B equals one-half cap A cap C implies and is implied by cap A cap B equals cap A cap C
??=??⇔12??=12??⇔??=??
. 

Câu d: 
Tứ giác AEDFcap A cap E cap D cap F
????
là hình vuông khi tam giác ABCcap A cap B cap C
???
là tam giác vuông cân tại Acap A
?