Bước 1: Xác định loại tứ giác AEDF 
Xét tứ giác AEDFcap A cap E cap D cap F
𝐴𝐸𝐷𝐹
: 
Góc Â=90∘cap A hat equals 90 raised to the composed with power
𝐴=90∘
(do tam giác ABCcap A cap B cap C
𝐴𝐵𝐶
vuông tại Acap A
𝐴
).
DE⟂AB⇒AED̂=90∘cap D cap E ⟂ cap A cap B implies modified cap A cap E cap D with hat above equals 90 raised to the composed with power
𝐷𝐸⟂𝐴𝐵⇒𝐴𝐸𝐷=90∘
.
DF⟂AC⇒AFD̂=90∘cap D cap F ⟂ cap A cap C implies modified cap A cap F cap D with hat above equals 90 raised to the composed with power
𝐷𝐹⟂𝐴𝐶⇒𝐴𝐹𝐷=90∘
.
Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật. 

Câu a: 
Tứ giác AEDFcap A cap E cap D cap F
𝐴𝐸𝐷𝐹
là hình chữ nhật vì có EAF̂=AED̂=AFD̂=90∘modified cap E cap A cap F with hat above equals modified cap A cap E cap D with hat above equals modified cap A cap F cap D with hat above equals 90 raised to the composed with power
𝐸𝐴𝐹=𝐴𝐸𝐷=𝐴𝐹𝐷=90∘
. 

Bước 2: Chứng minh các hình bình hành 
Xét tứ giác ADBMcap A cap D cap B cap M
𝐴𝐷𝐵𝑀
: Ta có Ecap E
𝐸
là trung điểm của ABcap A cap B
𝐴𝐵
(do Dcap D
𝐷
là trung điểm BCcap B cap C
𝐵𝐶
và DE//ACcap D cap E / / cap A cap C
𝐷𝐸//𝐴𝐶
). Theo đề bài, Ecap E
𝐸
cũng là trung điểm của DMcap D cap M
𝐷𝑀
( EM=EDcap E cap M equals cap E cap D
𝐸𝑀=𝐸𝐷
). Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành.
Xét tứ giác ADCNcap A cap D cap C cap N
𝐴𝐷𝐶𝑁
: Tương tự, Fcap F
𝐹
là trung điểm của ACcap A cap C
𝐴𝐶
và Fcap F
𝐹
là trung điểm của DNcap D cap N
𝐷𝑁
. Do đó ADCNcap A cap D cap C cap N
𝐴𝐷𝐶𝑁
là hình bình hành. 

Câu b: 
ADBMcap A cap D cap B cap M
𝐴𝐷𝐵𝑀
là hình bình hành vì hai đường chéo ABcap A cap B
𝐴𝐵
và DMcap D cap M
𝐷𝑀
cắt nhau tại trung điểm Ecap E
𝐸
của mỗi đường.
ADCNcap A cap D cap C cap N
𝐴𝐷𝐶𝑁
là hình bình hành vì hai đường chéo ACcap A cap C
𝐴𝐶
và DNcap D cap N
𝐷𝑁
cắt nhau tại trung điểm Fcap F
𝐹
của mỗi đường. 

Bước 3: Chứng minh A là trung điểm của MN 
Vì ADBMcap A cap D cap B cap M
𝐴𝐷𝐵𝑀
là hình bình hành ⇒AM//BDimplies cap A cap M / / cap B cap D
⇒𝐴𝑀//𝐵𝐷
và AM=BDcap A cap M equals cap B cap D
𝐴𝑀=𝐵𝐷
.
Vì ADCNcap A cap D cap C cap N
𝐴𝐷𝐶𝑁
là hình bình hành ⇒AN//CDimplies cap A cap N / / cap C cap D
⇒𝐴𝑁//𝐶𝐷
và AN=CDcap A cap N equals cap C cap D
𝐴𝑁=𝐶𝐷
.
Mà B,D,Ccap B comma cap D comma cap C
𝐵,𝐷,𝐶
thẳng hàng và DB=DCcap D cap B equals cap D cap C
𝐷𝐵=𝐷𝐶
(do Dcap D
𝐷
là trung điểm BCcap B cap C
𝐵𝐶
).
Từ đó suy ra AM//ANcap A cap M / / cap A cap N
𝐴𝑀//𝐴𝑁
(cùng song song với đường thẳng BCcap B cap C
𝐵𝐶
) và AM=ANcap A cap M equals cap A cap N
𝐴𝑀=𝐴𝑁
. Theo tiên đề Euclid, M,A,Ncap M comma cap A comma cap N
𝑀,𝐴,𝑁
thẳng hàng. 

Câu c: 
Vì M,A,Ncap M comma cap A comma cap N
𝑀,𝐴,𝑁
thẳng hàng và AM=ANcap A cap M equals cap A cap N
𝐴𝑀=𝐴𝑁
nên Acap A
𝐴
là trung điểm của đoạn thẳng MNcap M cap N
𝑀𝑁
. 

Bước 4: Điều kiện để AEDF là hình vuông 
Hình chữ nhật AEDFcap A cap E cap D cap F
𝐴𝐸𝐷𝐹
sẽ trở thành hình vuông khi có hai cạnh kề bằng nhau, tức là AE=AFcap A cap E equals cap A cap F
𝐴𝐸=𝐴𝐹
. 
AE=12ABcap A cap E equals one-half cap A cap B
𝐴𝐸=12𝐴𝐵
và AF=12ACcap A cap F equals one-half cap A cap C
𝐴𝐹=12𝐴𝐶
.
AE=AF⇔12AB=12AC⇔AB=ACcap A cap E equals cap A cap F implies and is implied by one-half cap A cap B equals one-half cap A cap C implies and is implied by cap A cap B equals cap A cap C
𝐴𝐸=𝐴𝐹⇔12𝐴𝐵=12𝐴𝐶⇔𝐴𝐵=𝐴𝐶
. 

Câu d: 
Tứ giác AEDFcap A cap E cap D cap F
𝐴𝐸𝐷𝐹
là hình vuông khi tam giác ABCcap A cap B cap C
𝐴𝐵𝐶
là tam giác vuông cân tại Acap A
𝐴