1. Hình vẽ minh họa
(Em hãy vẽ tam giác cân ABC tại A, I là trung điểm đáy BC, điểm K nằm đối xứng với A qua I).

a. Chứng minh $\triangle ABI = \triangle ACI$ và $AI \perp BC$
Chứng minh $\triangle ABI = \triangle ACI$:

Xét $\triangle ABI$ và $\triangle ACI$ có:

$AB = AC$ (giả thiết).
$AI$ là cạnh chung.
$IB = IC$ (vì $I$ là trung điểm của $BC$).

$\Rightarrow \triangle ABI = \triangle ACI$ (trường hợp cạnh - cạnh - cạnh).
Chứng minh $AI \perp BC$:

Từ $\triangle ABI = \triangle ACI \Rightarrow \widehat{AIB} = \widehat{AIC}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat{AIB} + \widehat{AIC} = 180^\circ$ (hai góc kề bù).

$\Rightarrow \widehat{AIB} = \widehat{AIC} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$.

Vậy $AI \perp BC$.

b. Chứng minh $AB = KC$
Xét $\triangle AIB$ và $\triangle KIC$ có:

$AI = IK$ (giả thiết).
$\widehat{AIB} = \widehat{KIC}$ (hai góc đối đỉnh).
$IB = IC$ (vì $I$ là trung điểm của $BC$).

$\Rightarrow \triangle AIB = \triangle KIC$ (trường hợp cạnh - góc - cạnh).

$\Rightarrow \mathbf{AB = KC}$ (hai cạnh tương ứng).

c. Chứng minh $E, I, F$ thẳng hàng
Để chứng minh $E, I, F$ thẳng hàng, ta sẽ chứng minh $\widehat{EIF} = 180^\circ$:

Từ chứng minh ở câu b, ta có $\triangle AIB = \triangle KIC \Rightarrow \widehat{EAI} = \widehat{FKI}$ (hai góc tương ứng) và $AB // KC$ (vì có cặp góc so le trong bằng nhau).
Xét $\triangle IE \text{A}$ ($\widehat{IEA}=90^\circ$) và $\triangle IFK$ ($\widehat{IFK}=90^\circ$) có:

$AI = IK$ (giả thiết).
$\widehat{EAI} = \widehat{FKI}$ (chứng minh trên).

$\Rightarrow \triangle IE\text{A} = \triangle IFK$ (cạnh huyền - góc nhọn).

$\Rightarrow \widehat{AIE} = \widehat{KIF}$ (hai góc tương ứng).
Ta có: $\widehat{AIE} + \widehat{EIK} = 180^\circ$ (hai góc kề bù, vì $A, I, K$ thẳng hàng).

Mà $\widehat{AIE} = \widehat{KIF}$ nên thay vào ta được:

$\widehat{KIF} + \widehat{EIK} = 180^\circ$ hay $\widehat{EIF} = 180^\circ$.
Vậy $E, I, F$ thẳng hàng.

Mẹo nhỏ: Ở câu c, em cũng có thể chứng minh $\triangle IEB = \triangle IFC$ để suy ra $\widehat{BIE} = \widehat{CIF}$, kết hợp với $B, I, C$ thẳng hàng cũng sẽ ra kết quả tương tự.