a) Chứng minh $APCK$ là hình bình hành
Xét tam giác $AKM$ và $CPM$:

Vì $AK // CD$ (theo giả thiết), nên $AK // CP$.
Do đó, $\widehat{KAM} = \widehat{PCM}$ (hai góc so le trong).
$\widehat{AMK} = \widehat{CMP}$ (hai góc đối đỉnh).
$AM = MC$ (vì $BM$ là đường trung tuyến của $\triangle ABC$).
Kết luận sự bằng nhau:

Từ các điều kiện trên, ta có $\triangle AKM = \triangle CPM$ (g.c.g).
Suy ra $AK = CP$ (hai cạnh tương ứng).
Xét tứ giác $APCK$:

Ta có $AK // CP$ và $AK = CP$.
Một tứ giác có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau là hình bình hành.
Vậy $APCK$ là hình bình hành.

b) Chứng minh $\frac{1}{2}PC = MF$
Tính chất hình bình hành $APCK$:

Vì $APCK$ là hình bình hành, hai đường chéo $AC$ và $PK$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Mà $M$ là trung điểm của $AC$, nên $M$ cũng phải là trung điểm của $PK$.
Suy ra $MP = MK$.
Xét tam giác $APK$:

$E$ là trung điểm của $AP$ (giả thiết).
$M$ là trung điểm của $PK$ (chứng minh trên).
Do đó, $EM$ là đường trung bình của $\triangle APK$.
Suy ra $EM // AK$ và $EM = \frac{1}{2}AK$.
Xét tam giác $KPC$:

Ta có $MF // KC$ (vì $EM // AK$ mà $AK // CP$, thực tế ở đây $F$ nằm trên $KC$ và $M$ là trung điểm $PK$).
Trong $\triangle KPC$, $M$ là trung điểm của $PK$ và $MF // PC$ (do $AK // CP$ và $EM // AK$).
Theo tính chất đường trung bình trong tam giác: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.
Vậy $MF$ là đường trung bình của $\triangle KPC$ ứng với cạnh $PC$.
Suy ra $MF = \frac{1}{2}PC$ (đpcm).

c) Chứng minh $\frac{PC}{PD} - \frac{AC}{BC} = 1$
Để giải quyết câu này, chúng ta sử dụng định lý Menelaus và tính chất đường phân giác.

Áp dụng định lý Menelaus cho $\triangle ABD$ với cát tuyến $C-P-M$:

$\frac{AM}{MC} \cdot \frac{CP}{PD} \cdot \frac{DB}{BA} = 1$
 

Vì $M$ là trung điểm $AC \Rightarrow \frac{AM}{MC} = 1$.

Do đó: $\frac{CP}{PD} \cdot \frac{DB}{AB} = 1 \Rightarrow \frac{PC}{PD} = \frac{AB}{DB}$. (1)
Áp dụng tính chất đường phân giác $CD$ trong $\triangle ABC$:

Theo tính chất đường phân giác: $\frac{DA}{DB} = \frac{AC}{BC}$.

Ta có:

$\frac{AB}{DB} = \frac{AD + DB}{DB} = \frac{AD}{DB} + 1$
 

Thay tỉ số phân giác vào: $\frac{AB}{DB} = \frac{AC}{BC} + 1$. (2)
Kết hợp (1) và (2):

Từ $\frac{PC}{PD} = \frac{AB}{DB}$ và $\frac{AB}{DB} = \frac{AC}{BC} + 1$, ta có:

$\frac{PC}{PD} = \frac{AC}{BC} + 1$
$\Rightarrow \frac{PC}{PD} - \frac{AC}{BC} = 1$
 

(Đpcm)