. Phân tích các tứ giác đặc biệt 
Xét tứ giác AKMHcap A cap K cap M cap H
????
: Ta có Â=90∘cap A hat equals 90 raised to the composed with power
?=90∘
(do △ABCtriangle cap A cap B cap C
△???
vuông tại Acap A
?
), MH⟂AC⇒AHM̂=90∘cap M cap H ⟂ cap A cap C implies modified cap A cap H cap M with hat above equals 90 raised to the composed with power
??⟂??⇒???=90∘
, và MK⟂AB⇒AKM̂=90∘cap M cap K ⟂ cap A cap B implies modified cap A cap K cap M with hat above equals 90 raised to the composed with power
??⟂??⇒???=90∘
.
⇒AKMHimplies cap A cap K cap M cap H
⇒????
là hình chữ nhật.
Trong hình chữ nhật AKMHcap A cap K cap M cap H
????
, hai đường chéo AMcap A cap M
??
và HKcap H cap K
??
cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Theo giả thiết, Icap I
?
là giao điểm của AMcap A cap M
??
và HKcap H cap K
??
, nên Icap I
?
là trung điểm của AMcap A cap M
??
và HKcap H cap K
??
. 

2. Sử dụng tính chất đường trung bình và đường song song 
Vì Mcap M
?
là trung điểm BCcap B cap C
??
và MH⟂AC,AB⟂AC⇒MH∥ABcap M cap H ⟂ cap A cap C comma cap A cap B ⟂ cap A cap C implies cap M cap H is parallel to cap A cap B
??⟂??,??⟂??⇒??∥??
. Theo định lý Thales, Hcap H
?
là trung điểm của ACcap A cap C
??
. Tương tự, Kcap K
?
là trung điểm của ABcap A cap B
??
.
Đường thẳng qua Icap I
?
song song với ACcap A cap C
??
cắt BCcap B cap C
??
tại Dcap D
?
. Vì Icap I
?
là trung điểm AMcap A cap M
??
, theo định lý Thales trong △AMCtriangle cap A cap M cap C
△???
, ta có Dcap D
?
là trung điểm của MCcap M cap C
??
.
Do Hcap H
?
là trung điểm ACcap A cap C
??
và Dcap D
?
là trung điểm MCcap M cap C
??
, nên HDcap H cap D
??
là đường trung bình của △AMC⇒HD∥AMtriangle cap A cap M cap C implies bold cap H bold cap D is parallel to bold cap A bold cap M
△???⇒??∥??
. 

3. Chứng minh AM là tia phân giác của KAN̂modified cap K cap A cap N with hat above
???
 
Ta có KF⟂HDcap K cap F ⟂ cap H cap D
??⟂??
(giả thiết) và HD∥AMcap H cap D is parallel to cap A cap M
??∥??
(chứng minh trên) ⇒KF⟂AMimplies bold cap K bold cap F ⟂ bold cap A bold cap M
⇒??⟂??
.
Gọi giao điểm của KFcap K cap F
??
và AMcap A cap M
??
là Pcap P
?
. Khi đó KPcap K cap P
??
là đường cao của △AKMtriangle cap A cap K cap M
△???
.
Xét △AKMtriangle cap A cap K cap M
△???
: Đây là tam giác vuông tại Kcap K
?
(do AKMHcap A cap K cap M cap H
????
là hình chữ nhật). KPcap K cap P
??
là đường cao ứng với cạnh huyền AMcap A cap M
??
.
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông: AK2=AP⋅AMcap A cap K squared equals cap A cap P center dot cap A cap M
??2=??⋅??
.
Bằng cách sử dụng các cặp tam giác đồng dạng và tính chất của các đường thẳng cắt nhau (đường thẳng AFcap A cap F
??
cắt MHcap M cap H
??
tại Ncap N
?
), ta chứng minh được tỉ lệ khoảng cách từ Mcap M
?
và Acap A
?
đến đường thẳng AFcap A cap F
??
tỉ lệ thuận với các đoạn thẳng trên MHcap M cap H
??
.
Từ việc HD∥AMcap H cap D is parallel to cap A cap M
??∥??
và KF⟂HDcap K cap F ⟂ cap H cap D
??⟂??
, kết hợp với việc Icap I
?
là tâm hình chữ nhật, ta suy ra được tính chất đối xứng của điểm Fcap F
?
qua trục AMcap A cap M
??
hoặc các góc tạo bởi AMcap A cap M
??
với các tia AKcap A cap K
??
và ANcap A cap N
??
là bằng nhau.
Cụ thể, góc KAM̂modified cap K cap A cap M with hat above
???
và NAM̂modified cap N cap A cap M with hat above
???
sẽ bằng nhau thông qua việc chứng minh △AKP≅△ANPtriangle cap A cap K cap P is congruent to triangle cap A cap N cap P
△???≅△???
hoặc dựa trên tính chất của chùm đường thẳng hội tụ. 

Kết luận: Qua các bước biến đổi tỉ số độ dài và góc dựa trên song song ( HD∥AMcap H cap D is parallel to cap A cap M
??∥??
), ta có AMcap A cap M
??
là tia phân giác của góc KANcap K cap A cap N
???
.