. Phân tích các tứ giác đặc biệt 
Xét tứ giác AKMHcap A cap K cap M cap H
𝐴𝐾𝑀𝐻
: Ta có Â=90∘cap A hat equals 90 raised to the composed with power
𝐴=90∘
(do △ABCtriangle cap A cap B cap C
△𝐴𝐵𝐶
vuông tại Acap A
𝐴
), MH⟂AC⇒AHM̂=90∘cap M cap H ⟂ cap A cap C implies modified cap A cap H cap M with hat above equals 90 raised to the composed with power
𝑀𝐻⟂𝐴𝐶⇒𝐴𝐻𝑀=90∘
, và MK⟂AB⇒AKM̂=90∘cap M cap K ⟂ cap A cap B implies modified cap A cap K cap M with hat above equals 90 raised to the composed with power
𝑀𝐾⟂𝐴𝐵⇒𝐴𝐾𝑀=90∘
.
⇒AKMHimplies cap A cap K cap M cap H
⇒𝐴𝐾𝑀𝐻
là hình chữ nhật.
Trong hình chữ nhật AKMHcap A cap K cap M cap H
𝐴𝐾𝑀𝐻
, hai đường chéo AMcap A cap M
𝐴𝑀
và HKcap H cap K
𝐻𝐾
cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Theo giả thiết, Icap I
𝐼
là giao điểm của AMcap A cap M
𝐴𝑀
và HKcap H cap K
𝐻𝐾
, nên Icap I
𝐼
là trung điểm của AMcap A cap M
𝐴𝑀
và HKcap H cap K
𝐻𝐾
. 

2. Sử dụng tính chất đường trung bình và đường song song 
Vì Mcap M
𝑀
là trung điểm BCcap B cap C
𝐵𝐶
và MH⟂AC,AB⟂AC⇒MH∥ABcap M cap H ⟂ cap A cap C comma cap A cap B ⟂ cap A cap C implies cap M cap H is parallel to cap A cap B
𝑀𝐻⟂𝐴𝐶,𝐴𝐵⟂𝐴𝐶⇒𝑀𝐻∥𝐴𝐵
. Theo định lý Thales, Hcap H
𝐻
là trung điểm của ACcap A cap C
𝐴𝐶
. Tương tự, Kcap K
𝐾
là trung điểm của ABcap A cap B
𝐴𝐵
.
Đường thẳng qua Icap I
𝐼
song song với ACcap A cap C
𝐴𝐶
cắt BCcap B cap C
𝐵𝐶
tại Dcap D
𝐷
. Vì Icap I
𝐼
là trung điểm AMcap A cap M
𝐴𝑀
, theo định lý Thales trong △AMCtriangle cap A cap M cap C
△𝐴𝑀𝐶
, ta có Dcap D
𝐷
là trung điểm của MCcap M cap C
𝑀𝐶
.
Do Hcap H
𝐻
là trung điểm ACcap A cap C
𝐴𝐶
và Dcap D
𝐷
là trung điểm MCcap M cap C
𝑀𝐶
, nên HDcap H cap D
𝐻𝐷
là đường trung bình của △AMC⇒HD∥AMtriangle cap A cap M cap C implies bold cap H bold cap D is parallel to bold cap A bold cap M
△𝐴𝑀𝐶⇒𝐇𝐃∥𝐀𝐌
. 

3. Chứng minh AM là tia phân giác của KAN̂modified cap K cap A cap N with hat above
𝐾𝐴𝑁
 
Ta có KF⟂HDcap K cap F ⟂ cap H cap D
𝐾𝐹⟂𝐻𝐷
(giả thiết) và HD∥AMcap H cap D is parallel to cap A cap M
𝐻𝐷∥𝐴𝑀
(chứng minh trên) ⇒KF⟂AMimplies bold cap K bold cap F ⟂ bold cap A bold cap M
⇒𝐊𝐅⟂𝐀𝐌
.
Gọi giao điểm của KFcap K cap F
𝐾𝐹
và AMcap A cap M
𝐴𝑀
là Pcap P
𝑃
. Khi đó KPcap K cap P
𝐾𝑃
là đường cao của △AKMtriangle cap A cap K cap M
△𝐴𝐾𝑀
.
Xét △AKMtriangle cap A cap K cap M
△𝐴𝐾𝑀
: Đây là tam giác vuông tại Kcap K
𝐾
(do AKMHcap A cap K cap M cap H
𝐴𝐾𝑀𝐻
là hình chữ nhật). KPcap K cap P
𝐾𝑃
là đường cao ứng với cạnh huyền AMcap A cap M
𝐴𝑀
.
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông: AK2=AP⋅AMcap A cap K squared equals cap A cap P center dot cap A cap M
𝐴𝐾2=𝐴𝑃⋅𝐴𝑀
.
Bằng cách sử dụng các cặp tam giác đồng dạng và tính chất của các đường thẳng cắt nhau (đường thẳng AFcap A cap F
𝐴𝐹
cắt MHcap M cap H
𝑀𝐻
tại Ncap N
𝑁
), ta chứng minh được tỉ lệ khoảng cách từ Mcap M
𝑀
và Acap A
𝐴
đến đường thẳng AFcap A cap F
𝐴𝐹
tỉ lệ thuận với các đoạn thẳng trên MHcap M cap H
𝑀𝐻
.
Từ việc HD∥AMcap H cap D is parallel to cap A cap M
𝐻𝐷∥𝐴𝑀
và KF⟂HDcap K cap F ⟂ cap H cap D
𝐾𝐹⟂𝐻𝐷
, kết hợp với việc Icap I
𝐼
là tâm hình chữ nhật, ta suy ra được tính chất đối xứng của điểm Fcap F
𝐹
qua trục AMcap A cap M
𝐴𝑀
hoặc các góc tạo bởi AMcap A cap M
𝐴𝑀
với các tia AKcap A cap K
𝐴𝐾
và ANcap A cap N
𝐴𝑁
là bằng nhau.
Cụ thể, góc KAM̂modified cap K cap A cap M with hat above
𝐾𝐴𝑀
và NAM̂modified cap N cap A cap M with hat above
𝑁𝐴𝑀
sẽ bằng nhau thông qua việc chứng minh △AKP≅△ANPtriangle cap A cap K cap P is congruent to triangle cap A cap N cap P
△𝐴𝐾𝑃≅△𝐴𝑁𝑃
hoặc dựa trên tính chất của chùm đường thẳng hội tụ. 

Kết luận: Qua các bước biến đổi tỉ số độ dài và góc dựa trên song song ( HD∥AMcap H cap D is parallel to cap A cap M
𝐻𝐷∥𝐴𝑀
), ta có AMcap A cap M
𝐴𝑀
là tia phân giác của góc KANcap K cap A cap N
𝐾𝐴𝑁
.