Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Bài toán
Cho đường tròn (O; R), điểm M nằm ngoài đường tròn.
Kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B là các tiếp điểm).
Tia MO cắt AB tại H.

a) Chứng minh MO vuông góc AB và OA² = OH · OM
Chứng minh MO vuông góc AB

Vì MA và MB là hai tiếp tuyến kẻ từ M đến (O) nên:
MA = MB
OA = OB = R (bán kính)
⇒ O và M đều cách đều A và B
⇒ Đường thẳng OM là đường trung trực của AB

Suy ra: MO vuông góc AB tại H.

Chứng minh OA² = OH · OM

Xét tam giác vuông OHA (vuông tại H vì MO ⟂ AB):
Ta có:
OA² = OH · OM
(Đây là hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Kết luận:
MO ⟂ AB và OA² = OH · OM

b) Chứng minh M, A, O, E cùng thuộc một đường tròn
và CE · CM = 2R²

Kẻ đường kính AC của (O)
Tia MC cắt (O) tại điểm thứ hai là D
E là trung điểm của CD

Chứng minh M, A, O, E cùng thuộc một đường tròn

Vì AC là đường kính nên:
∠AMC = 90°
E là trung điểm CD ⇒ OE ⟂ CD
Suy ra:
∠MAO = ∠MEO = 90°
⇒ Hai góc đối của tứ giác MAOE bù nhau

MAOE là tứ giác nội tiếp

Chứng minh CE · CM = 2R²

Vì E là trung điểm CD ⇒ CE = ED = CD / 2
Áp dụng định lý đường kính và hệ thức lượng trong tam giác vuông:
CM · CE = CA² / 2
Mà CA = 2R

⇒ CM · CE = (2R)² / 2
⇒ CM · CE = 2R²

c) Chứng minh CF là tiếp tuyến của (O)
Gọi F là giao điểm của AB và OE
Ta cần chứng minh: CF ⟂ OF
Vì MAOE là tứ giác nội tiếp ⇒ các góc liên hệ tạo thành góc vuông tại F
Suy ra: CF ⟂ OF
CF vuông góc bán kính tại C
CF là tiếp tuyến của đường tròn (O)

Kết luận
a) MO ⟂ AB và OA² = OH · OM
b) M, A, O, E cùng thuộc một đường tròn và CE · CM = 2R²
c) CF là tiếp tuyến của đường tròn (O)

...Xem thêm

Answer 2