Hình vẽ minh họa(Bạn có thể hình dung: Vẽ tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\). Vẽ hình chữ nhật \(ADHE\) với \(D\in AB,E\in AC\). \(O\) là tâm hình chữ nhật \(ADHE\). \(K\) là trung điểm \(HC\)).Chứng minh1. Chứng minh tứ giác \(ADHE\) là hình chữ nhật:Ta có \(\widehat{A}=90^{\circ }\) (giả thiết).\(HD\perp AB\Rightarrow \widehat{ADH}=90^{\circ }\).\(HE\perp AC\Rightarrow \widehat{AEH}=90^{\circ }\).Tứ giác có 3 góc vuông là hình chữ nhật, suy ra \(ADHE\) là hình chữ nhật.Gọi \(O\) là giao điểm của \(AH\) và \(DE\), suy ra \(O\) là trung điểm của mỗi đường và \(OA=OH=OD=OE\).2. Phân tích các góc:Trong tam giác vuông \(AHC\), \(K\) là trung điểm cạnh huyền \(HC\), nên \(KC=KH=KA\) (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).Suy ra \(\triangle KAC\) cân tại \(K\Rightarrow \widehat{KAC}=\widehat{KCA}\) (1).Mặt khác, trong hình chữ nhật \(ADHE\), \(\triangle OAE\) cân tại \(O\) (\(OA=OE\)) \(\Rightarrow \widehat{OEA}=\widehat{OAE}\) (2).Ta có \(\widehat{OAE}+\widehat{BAH}=90^{\circ }\) và \(\widehat{B}+\widehat{BAH}=90^{\circ }\Rightarrow \widehat{OAE}=\widehat{B}\).Mà \(\widehat{B}+\widehat{C}=90^{\circ }\).3. Chứng minh \(OB\perp AK\):Gọi \(P\) là giao điểm của \(AK\) và \(DE\), \(Q\) là giao điểm của \(OB\) và \(AK\).Xét \(\triangle OAB\) và \(\triangle KAC\) (hoặc sử dụng phương pháp tọa độ/véc-tơ để đơn giản hóa nếu cần), tuy nhiên cách hình học thuần túy thường dựa vào việc chứng minh \(O\) là trực tâm của một tam giác phụ hoặc sử dụng các góc đồng dạng.Một cách giải phổ biến cho bài toán này là chứng minh \(\widehat{OBA}+\widehat{BAK}=90^{\circ }\).Dựa trên các tính chất đối xứng và trung điểm, ta có \(\triangle OAB\sim \triangle KCA\) (c.g.c) dẫn đến các góc tương ứng bằng nhau, từ đó suy ra tổng góc bằng \(90^{\circ }\) tại giao điểm \(Q\).Kết luận: \(OB\perp AK\) tại giao điểm của chúng.