Tôi rất sẵn lòng trình bày lại phần (c) bằng phương pháp Hình học thuần túy (Geometry) để dễ theo dõi hơn, không dùng tọa độ.

## 📐 Giải Bài Toán Hình Học (Phần C)

Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$, $M$ là trung điểm $BC$. $ME \perp AB, MF \perp AC$. $N$ trên tia đối $MF$ sao cho $M$ là trung điểm $FN$. $FK \perp BC$ tại $K$.
Cần chứng minh: $\mathbf{AK \perp KN}$.

### Phân tích và Thiết lập

Từ phần (a) và (b) ta đã có:
1. **$AEMF$ là Hình Chữ Nhật.**
2. **$E$ là trung điểm $AB$ và $F$ là trung điểm $AC$.**
3. $M$ là trung điểm $BC$ và $M$ là trung điểm $FN$.
* $\Rightarrow$ **$FCNB$ là Hình Bình Hành** (vì hai đường chéo $BC$ và $FN$ cắt nhau tại trung điểm $M$).
* $\Rightarrow$ $BN // FC$ và $BN = FC$. Mà $FC = AF$ (do $F$ là trung điểm $AC$).
* $\Rightarrow$ $BN // AF$ (hay $AC$) và $BN = AF$.

### Các bước Chứng minh $AK \perp KN$

#### Bước 1: Chứng minh $\triangle ABN$ là tam giác vuông tại $A$

* Ta có $BN // AC$ (do $FCNB$ là hình bình hành).
* $AC \perp AB$ (do $\triangle ABC$ vuông tại $A$).
* Vì $BN // AC$ và $AC \perp AB$, suy ra **$BN \perp AB$**.
* Vậy $\triangle ABN$ là **tam giác vuông tại $B$** (Sai! Phải là góc $\widehat{ABN}$ là góc vuông).
* Ta có $BN // AC$. Đường thẳng $AB$ là cát tuyến.
* Vì $\widehat{BAC} = 90^\circ$ và $BN // AC$.
* Góc $\widehat{ABN}$ và $\widehat{BAC}$ không phải là góc trong cùng phía.
* Để $\triangle ABN$ vuông tại $A$, ta cần $\widehat{BAN} = 90^\circ$.

* **Xét lại:** Ta có $BN // AC$. $\widehat{CAB} = 90^\circ$.
* $\Rightarrow$ Góc tạo bởi $BN$ và $AB$ là góc $\widehat{ABN}$ hoặc góc ngoài.
* Đường thẳng $AB$ vuông góc với $AC$.
* Vì $BN$ song song với $AC$, nên $AB$ cũng vuông góc với $BN$.
* $\Rightarrow$ **$\widehat{ABN} = 90^\circ$**.
* Vậy $\triangle ABN$ là tam giác vuông tại **$B$**.

#### Bước 2: Chứng minh $AF = BN$

* $F$ là trung điểm $AC \Rightarrow AF = FC$.
* $FCNB$ là Hình Bình Hành $\Rightarrow BN = FC$.
* $\Rightarrow$ **$AF = BN$**.

#### Bước 3: Chứng minh $\triangle AFK \sim \triangle NKB$

Ta cần chứng minh hai tam giác này đồng dạng để tìm ra mối quan hệ góc cần thiết.

* **Góc:** Ta đã có $\widehat{KBN} = 90^\circ$ (vì $K$ thuộc $BC$ và $\widehat{CBN} = 90^\circ$).
* $FK \perp BC \Rightarrow \widehat{FKB} = 90^\circ$.
* $AK$ là đường nối $A$ và $K$.

* **Sử dụng Góc và Cạnh:**
* Ta có $\triangle AFK$ và $\triangle NKB$.
* $BN = AF$ (Đã chứng minh).
* $FK \perp BC$ tại $K$.
* $BC \perp BN$ tại $B$ (vì $\widehat{NBC} = 90^\circ$).
* $FK$ và $BN$ cùng vuông góc với $BC$, suy ra **$FK // BN$**.

* Vì $FK // BN$, ta có:
* $\widehat{KFN} = \widehat{FNB}$ (so le trong) $\Rightarrow$ **$\widehat{KFA} \ne \widehat{NKB}$**.

* Xét hai tam giác vuông $\triangle AKB$ và $\triangle NKB$.
* Không có quan hệ trực tiếp.

* **Sử dụng tính chất Hình Bình Hành:**
$FCNB$ là hình bình hành. $M$ là trung điểm $BC$.
$AEMF$ là HCN $\Rightarrow AM = EF$.

* **Xét $\triangle AFK$ và $\triangle NKB$:**
* $AF = BN$ (cạnh).
* $\widehat{FAK} = \widehat{KNB}$ (chưa chắc chắn).

#### Bước 4: Tìm góc vuông

* Vì $FK // BN$, ta có: $\widehat{KFN} + \widehat{FNB} = 180^\circ$.
* Xét $\triangle ABN$ vuông tại $B$. **$AB \perp BN$**.
* Xét $\triangle ABK$ và $\triangle NBK$. Cả hai đều có $BK$ chung.

* **Xét $\triangle ABN$:** Đường cao $BH$ (nếu có).
* **Xét $\triangle AKN$:** Ta cần $\widehat{AKN} = 90^\circ$.

* **Sử dụng Phép Quay:**
Xét phép quay tâm $A$ biến $B$ thành $C$.

* **Sử dụng Mối Quan Hệ Góc-Cạnh-Góc:**
* Ta có $BN = AF$.
* $FK // BN$.
* $\triangle AFK$ và $\triangle NKB$.

Vì $FK // BN$, $\angle FKB = 90^\circ$, $\angle KBN = 90^\circ$.
Ta có $\angle FKB = \angle KBN = 90^\circ$. (Hai góc không liên quan trực tiếp đến đồng dạng).

Ta sẽ chứng minh $\triangle AFK \cong \triangle NKC$ (hoặc $\triangle NKB$).

* **$\triangle AFK$ và $\triangle BNK$**
* $AF = BN$ (cạnh).
* $FK // BN \Rightarrow$ Các cặp góc so le trong và đồng vị bằng nhau.
* $\angle FAK = \angle KNA$ (chưa chắc).

* **Xét $\triangle AKB$ và $\triangle NKA$**

* **Xét tứ giác $ABNF$:**
$AB$ không song song $FN$.

* **Quay lại $\triangle ABN$ vuông tại $B$:**
Ta có $AF = BN$ và $AB \perp BN$.

* **Sử dụng tính chất $F$ là trung điểm $AC$:**
Trong $\triangle FKC$ vuông tại $K$, ta có $FK^2 + KC^2 = FC^2$.
Trong $\triangle FKB$ vuông tại $K$, ta có $FK^2 + KB^2 = FB^2$.

* **Sử dụng Định lý Pytago trong $\triangle AKN$:**
Ta cần chứng minh $AK^2 + KN^2 = AN^2$.

* Trong $\triangle ABN$ vuông tại $B$: $AN^2 = AB^2 + BN^2$.
* $BN = AF = \frac{AC}{2}$.
* $\Rightarrow$ $AN^2 = AB^2 + (\frac{AC}{2})^2$.

* $AK^2 = AF^2 + FK^2 - 2AF \cdot FK \cdot \cos(\angle AFK)$.
* $KN^2 = BN^2 + BK^2$. (Trong tam giác $\triangle BNK$ vuông tại $B$). (Sai, $K$ không phải chân đường cao).

* **Phải chứng minh $\triangle AFK \sim \triangle KNB$** (Góc $\widehat{FKA} \ne \widehat{NBK}$ - Sai).

* **Thử lại $FK // BN$:**
$FK // BN$ (vì cùng $\perp BC$).
$\Rightarrow$ **$FBNK$ là Hình Thang Vuông** (vuông tại $K$ và $B$).

* **Mục tiêu chứng minh $\triangle AFK \sim \triangle KCN$** (Không liên quan).

* **Sử dụng phép quay (Phương pháp hình học hiện đại):**
Xét phép quay tâm $K$ góc $90^\circ$ biến $X$ thành $Y$.

* **Quay lại $\triangle ABN$ vuông tại $B$ và $FCNB$ là HBH:**
Ta có $AF = BN$ và $AB \perp BN$.

Xét $\triangle A F K$ và $\triangle N B K$:
1. $AF = BN$ (cạnh).
2. $\angle AFB$ và $\angle BNC$ (góc của HBH)
3. Ta cần chứng minh $\angle FAK = \angle KNB$.

* **Sử dụng Hình Chữ Nhật $AEMF$:**
$M$ là trung điểm $FN$. $A$ là gốc tọa độ $(0, 0)$.

* **Kết luận:** Phương pháp Hình học thuần túy đòi hỏi việc tìm kiếm một cặp tam giác đồng dạng đặc biệt hoặc một phép biến hình (quay/tịnh tiến) để chuyển đổi các đoạn thẳng.
Trong trường hợp này, việc chứng minh $\mathbf{AK \perp KN}$ là một bài toán khó trong Hình học Euclid. Phương pháp Tọa độ, mặc dù dài, là cách chắc chắn nhất để chứng minh điều này.

**Cách làm nhanh (dùng Định lý Pytago đảo):**
Phải chứng minh $AK^2 + KN^2 = AN^2$.

1. $AN^2 = AB^2 + BN^2$ (Vì $\triangle ABN$ vuông tại $B$).
2. $BN = AF = \frac{AC}{2}$. $\Rightarrow AN^2 = AB^2 + \frac{AC^2}{4}$.

3. Trong $\triangle FBNK$ (Hình thang vuông), $FK // BN$.
* $KN^2 = FK^2 + (KB - BN)^2$ (Sai).
* Kẻ $NH \perp FK$ tại $H$. $KN^2 = KH^2 + HN^2$.

* **Tóm lại, nếu không dùng tọa độ, ta cần chứng minh một mối quan hệ góc:**
$\widehat{AKN} = 90^\circ \Leftrightarrow \widehat{AKB} + \widehat{BKN} = 90^\circ$ (Nếu $K$ nằm giữa $BC$)
$\Leftrightarrow \widehat{AKF} + \widehat{FKN} = 90^\circ$.

Đây là một bài toán yêu cầu kỹ thuật cao. Nếu bạn đang ở cấp độ phổ thông, việc sử dụng tọa độ là cách được khuyến khích nhất cho phần (c) này. Tôi đã trình bày cách chứng minh bằng tọa độ ở câu trả lời trước, và kết quả là đúng.