1. Phân tích tổng $A$
Tổng $A$ là một cấp số nhân hữu hạn:

$A = 1+\frac{1}{17}+\frac{1}{17^2}+\frac{1}{17^3}+...+\frac{1}{17^{20}}$
Số hạng đầu: $a = 1$
Công bội: $r = \frac{1}{17}$
Số số hạng: $n = 21$ (từ $\left(\frac{1}{17}\right)^0$ đến $\left(\frac{1}{17}\right)^{20}$)
2. Tính toán giá trị của $A$
Ta sử dụng phương pháp nhân với công bội và trừ đi để tìm tổng:

Bước 1: Viết lại biểu thức $A$:

$A = 1+\frac{1}{17}+\frac{1}{17^2}+...+\frac{1}{17^{20}} \quad (*)$
Bước 2: Nhân cả hai vế của $(*)$ với công bội $r = \frac{1}{17}$:

$\frac{1}{17}A = \frac{1}{17}+\frac{1}{17^2}+\frac{1}{17^3}+...+\frac{1}{17^{21}} \quad (**)$
Bước 3: Lấy $(*)$ trừ đi $(**)$:

$A - \frac{1}{17}A = \left(1+\frac{1}{17}+...+\frac{1}{17^{20}}\right) - \left(\frac{1}{17}+\frac{1}{17^2}+...+\frac{1}{17^{21}}\right)$
Bước 4: Rút gọn vế trái và vế phải:

$\left(1 - \frac{1}{17}\right)A = 1 - \frac{1}{17^{21}}$
$\frac{16}{17}A = \frac{17^{21}}{17^{21}} - \frac{1}{17^{21}}$
$\frac{16}{17}A = \frac{17^{21} - 1}{17^{21}}$
Bước 5: Tìm $A$:

$A = \frac{17^{21} - 1}{17^{21}} \cdot \frac{17}{16}$
$A = \frac{17^{21} - 1}{17^{21-1} \cdot 16}$
$A = \frac{17^{21} - 1}{16 \cdot 17^{20}}$
3. Kết luận và Chỉ ra lỗi trong Đề bài
Kết quả tính toán chính xác là:

$A = \frac{17^{21} - 1}{16 \cdot 17^{20}}$
Biểu thức bạn yêu cầu chứng minh là:

$A = 1+\frac{1}{17}+\frac{1}{17^2}+...+\frac{1}{17^{20}} \quad (*)$1
Hai kết quả này không khớp vì $17^{20}$ là một số rất lớn, trong khi $13^2 = 169$.

Kết luận: Đẳng thức cần chứng minh có vẻ đã bị gõ nhầm. Biểu thức đúng phải là:

$A = 1+\frac{1}{17}+\frac{1}{17^2}+...+\frac{1}{17^{20}} \quad (*)$2