Dưới đây là lời giải có bố cục và các ý chính rõ ràng để làm bài tập hình học.

Cho: Từ M ở ngoài đường tròn (O; R), kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn tâm O và bán kính R, A và B lần lượt là hai tiếp điểm. Gọi H là giao điểm của OM và AB. Vẽ đường kính AC (tại C trên đường tròn (O; R)) và I là trung điểm của OM. Gọi MC cắt đường tròn (I) tại E. Gọi K là giao điểm của CH và AE. Cần chứng minh: tam giác ACK cân tại A? hoặc tam giác ACK vuông? Tuy nhiên đề bài kết thúc bằng “tam giác ACK cần” có vẻ thiếu chữ. Dưới đây tôi trình bày hai khả năng phổ biến và cách chứng minh tương ứng. Bạn có thể cho biết đúng yêu cầu cuối cùng là “ACK cân tại A” hay “ACK vuông tại A” để tôi rà soát lại.

Phân tích và chứng minh các phần a) và b):

Phần a) Chứng minh M, A, O, B cùng nằm trên một đường tròn tâm I

Ta có I là trung điểm của OM. Đặt OA = OB = R và MA, MB là các tiếp tuyến tại A, B nên IA ⟂ OA và IB ⟂ OB? Không chính xác; ta nên dùng bất đẳng thức về đường tâm đường tròn tiếp tuyến.
Quan sát quan hệ sau: MA và MB là tiếp tuyến tại A và B, nên OA ⟂ MA và OB ⟂ MB.
Hình học cơ bản: Nếu từ một điểm M ở ngoài đường tròn cho ta hai tiếp tuyến MA và MB tới đường tròn tâm O, thì OA và OB là bán kính tới tiếp điểm; góc OAM bằng OMB và OA = OB = R.
Ta cần chứng minh A, B, M, O thuộc một đường tròn có tâm I = trung điểm của OM. Vì I là trung điểm của OM, ta có IA = IB = IM = IO nếu đúng. Tuy nhiên IA = IB không tự động unless A và B đối xứng qua OM. Thực tế, với tiếp tuyến từ M, các thuộc tính sau đúng:∠OAM = 90° - ∠AOM/2? (không trực tiếp).
Cách tiếp cận chuẩn: Trong hình học Euclid, một công thức hữu ích là nếu từ M ta kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới một đường tròn tâm O, thì M là một điểm trên đường tròn đồng tâm với O qua I? Đây không phải quy tắc chung.
Vì phần a) đòi chứng minh M, A, O, B cùng một đường tròn tâm I, và I là trung điểm OM, ta có một kết luận chuẩn:

Từ M ở ngoài đường tròn (O; R) và MA, MB là tiếp tuyến, A và B là tiếp điểm.
Ta có MA ⟂ OA và MB ⟂ OB.
Gọi I là trung điểm của OM. Để M, A, O, B cùng đường tròn tâm I, ta cần IA = IO = IM = AB/2? Thực tế, tính chất đúng là: XA ⟂ OA và XB ⟂ OB cho nên IA = IB = IO = IM chỉ khi A và B đối xứng qua OM, điều này không tự động từ giả thiết. Do đó, phần a) như mô tả có thể không đúng trong mọi trường hợp trừ khi thêm giả thiết về cân đối hình học và vị trí A, B so với OM.
Vậy để tiếp tục và đúng đắn, cần làm rõ bài toán hoặc có bổ sung:

Có đúng không: I là trung điểm của OM? – Có.
Muốn chứng minh M, A, O, B nằm trên đường tròn có tâm I, tức IA = IO = IM. Ta có IM = IO = IA đòi hỏi A và B đều ở cùng bán kính từ I. Điều này sẽ đúng nếu OA = OB và OA, OB đều có khoảng cách tới I bằng IM. Tuy nhiên OA = OB = R và I là trung điểm của OM, không đảm bảo IA = IO theo mọi trường hợp.
Nếu bạn có thể xác nhận lại câu hỏi cuối cùng (a) mục tiêu là chứng minh M, A, O, B thuộc đường tròn tâm I hay có điều kiện đặc biệt), mình sẽ cung cấp lời giải chi tiết và đầy đủ logic.

Phần b) Về tam giác ACK

MC cắt đường tròn (I) tại E. Gọi K là giao điểm của CH và AE. Cần chứng minh tam giác ACK cân tại A (nếu “cân tại A” là yêu cầu) hoặc chứng minh một đặc tính khác liên quan đến tam giác ACK.
Các bước hướng tới chứng minh kiểu cân tại A:Xác định vị trí các điểm A, C, E, K dựa trên các tia và đường tròn khi M, O, B, A cho trước.
Sử dụng các tính chất: AM // OT và AN // Ox (nếu áp dụng tương tự), hoặc trong trường hợp này: đường kính AC của đường tròn (I) là đường kính của đường tròn có tâm I. E là giao của MC với đường tròn (I): IE = IC = RI? Không đúng, chỉ IE = IC nếu E nằm đối xứng qua I trên đường MC.
Gốc ý tưởng để chứng minh ACK cân tại A: cần chứng minh ∠CAK = ∠KAA? hoặc cạnh AB bằng AK? Cân tại A nghĩa là AD = AB hoặc AB = AK. Trong tam giác ACK, cân tại A có nghĩa hai cạnh AC và AK bằng nhau hoặc hai góc tại A bằng nhau: ∠CAK = ∠KAC. Để chứng minh, ta có thể dùng các đồng vị trí và các quan hệ đường tròn.
Tóm lại:

Hiện tại, phần a) và phần b) cần thêm sự làm rõ về các ký hiệu và giả thuyết (đặc biệt cuối câu a) “Chứng minh: tam giác ACK cần” có thể thiếu chữ). Bạn có thể cho biết đúng yêu cầu cuối cùng cho phần b (ví dụ: chứng minh tam giác ACK cân tại A, hay tam giác ACK vuông tại A, hoặc một tính chất đặc biệt nào khác) và có xác nhận lại sự tồn tại của các giả thiết (ví dụ AM // OT, AN // Ox) để mình viết lời giải đầy đủ, logic và chặt chẽ theo hình học phẳng.
Nếu bạn cung cấp rõ ràng hơn:

Độ xác định các ký hiệu và quan hệ giữa các tia (OT, Ox, Oy, A, M, B, H, C, I, E, K, Y…)
Yêu cầu cuối cùng cho phần (a) và (b)
Mình sẽ trả lời đầy đủ, có bài giải từng bước, kèm chú giải lý thuyết và các nhận xét trực quan.