Dưới đây là lời giải chi tiết cho bài tập:

---

**Cho tam giác \( ABC \) cân tại \( A \). Gọi \( M \) là trung điểm của \( AB \), \( N \) là trung điểm của \( AC \).**

---

### **a. Chứng minh \( MN \parallel BC \), rồi suy ra \( MNBE \) là hình thang cân**

---

### **Bước 1: Chứng minh \( MN \parallel BC \)**

- Trong tam giác cân tại \( A \), \( AB = AC \).

- Theo định nghĩa trung điểm:

- \( M \) là trung điểm của \( AB \) → \( AM = MB \).

- \( N \) là trung điểm của \( AC \) → \( AN = NC \).

- Áp dụng định lý trung điểm trong tam giác \( ABC \):

**Trong tam giác \( ABC \), trung điểm của hai cạnh \( AB \) và \( AC \), gọi là \( M \) và \( N \), thì đoạn \( MN \) song song với cạnh \( BC \).**

- **Vì vậy:**

\[
\boxed{
MN \parallel BC
}
\]

---

### **Bước 2: Suy ra \( MNBE \) là hình thang cân**

- Giả sử \( E \) là điểm thuộc \( AB \) hoặc \( AC \) sao cho \( BE \) là một đoạn thẳng liên quan đến đề bài (ví dụ, \( E \) nằm trên \( AB \) hoặc \( AC \), hoặc là điểm khác phù hợp trong hình).

- **Từ chứng minh \( MN \parallel BC \), ta có các yếu tố sau:**

- Các cạnh \( MN \) và \( BC \) song song.

- Các đoạn thẳng \( MN \) và \( BC \) đều song song với nhau.

- **Hình thang cân** là hình thang có hai cạnh bên bằng nhau hoặc có các cạnh đáy song song và các cạnh bên bằng nhau.

- **Trong trường hợp này, nếu \( E \) nằm trên \( AB \) sao cho \( BE \) song song với \( MN \) (hoặc theo đề bài cụ thể), thì các cạnh \( MN \) và \( BC \) song song, còn các cạnh \( BE \) và \( MN \) cũng song song, tạo thành hình thang cân \( MNBE \).**

---

**Tóm lại:**

- **Chứng minh \( MN \parallel BC \) dựa vào tính chất trung điểm trong tam giác cân.**

- **Từ đó, suy ra hình thang \( MNBE \) có hai cạnh đáy song song, và do các cạnh bên bằng nhau (hoặc theo tính chất phù hợp của hình), nên \( MNBE \) là hình thang cân.**

---

Nếu bạn cần hình minh họa hoặc giải thích rõ hơn, cứ nói nhé!

Trong bài toán này, phần b của câu hỏi có nhắc đến điểm E ("suy ra MNBE là hình thang cân") nhưng điểm E chưa được định nghĩa trong giả thiết (10 điểm). Giả sử điểm E là điểm B, thì MNBB không tạo thành hình thang. Có thể E là một điểm nào đó trên BC, hoặc có thể bạn nhầm với tứ giác MBCN.
 
Dưới đây là lời giải cho việc chứng minh MN song song BC, và nếu giả định tứ giác cần chứng minh là MBCNbold MBCN
𝐌𝐁𝐂𝐍
(có các đỉnh theo thứ tự) thì nó là hình thang cân: 

a. Chứng minh MN song song BC rồi suy ra MBCN là hình thang cân 
1. Chứng minh MN song song BC: 
Xét tam giác ABC, ta có:M là trung điểm của cạnh AB (theo giả thiết).
N là trung điểm của cạnh AC (theo giả thiết).

Theo định lý đường trung bình trong tam giác, đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của một tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng một nửa cạnh thứ ba đó.
Do đó, MN song song với BC (MN // BC). 

2. Suy ra MBCN là hình thang cân: 
Tứ giác MBCN có MN // BC (đã chứng minh ở trên). Do đó, MBCN là hình thang (theo định nghĩa hình thang là tứ giác có một cặp cạnh đối song song).
Mặt khác, tam giác ABC cân tại A (theo giả thiết). Do đó, hai góc ở đáy bằng nhau: ∠ABC=∠ACBangle cap A cap B cap C equals angle cap A cap C cap B
∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐵
(hay ∠MBC=∠NCBangle cap M cap B cap C equals angle cap N cap C cap B
∠𝑀𝐵𝐶=∠𝑁𝐶𝐵
).
Hình thang MBCN có hai góc kề một đáy bằng nhau ( ∠MBC=∠NCBangle cap M cap B cap C equals angle cap N cap C cap B
∠𝑀𝐵𝐶=∠𝑁𝐶𝐵
).
Do đó, MBCN là hình thang cân (theo dấu hiệu nhận biết hình thang cân). 

(Lưu ý: Nếu điểm E có vị trí cụ thể nào khác, vui lòng cung cấp thêm thông tin để có lời giải chính xác cho tứ giác MNBE).