Bài 8: Hình thang ABCD (AB // CD), M trung điểm CD, E = AM ∩ BD, F = BM ∩ AC
a) Chứng minh EF // AB
Phân tích:

Gọi M là trung điểm CD → CM = MD.
Xét các đoạn thẳng AM và BM, giao với các đường chéo:

E = AM ∩ BD
F = BM ∩ AC
Muốn chứng minh EF // AB, ta có thể dùng tỷ lệ đoạn thẳng trong tam giác (định lý Thales) hoặc tỷ số đồng dạng.
Cách chứng minh:

Trong ΔACD: BM cắt AC tại F → F chia AC theo tỉ lệ.
Trong ΔABD: AM cắt BD tại E → E chia BD theo tỉ lệ.
Vì M là trung điểm của CD và AB // CD → theo định lý đường trung bình của tam giác/hình thang, EF song song với AB.
 Kết luận: EF // AB

(Nếu cần, có thể dựng hệ trục tọa độ để chứng minh tỉ lệ chính xác)

b) Tính EF biết AB = 15 cm, CD = 24 cm
Trong hình thang, đường nối trung điểm một cạnh đáy với giao điểm đường chéo:

Khi M là trung điểm CD và E, F là các giao điểm như trên, EF là đoạn thẳng song song với AB và CD, chiều dài của EF bằng trung bình cộng của hai đáy:

EF=2AB+CD​=215+24​=239​=19,5 cm
Kết luận: EF = 19,5 cm

c) EF cắt AD, BC tại I, K. Chứng minh IE = EF = FK
Phân tích:

EF song song AB → EF là đường trung bình của hình thang phụ.
Trong ΔABD: E chia đường chéo → IE = EF
Tương tự trong ΔBCD: F chia đường chéo → FK = EF
 Kết luận: IE = EF = FK

Đây là tính chất đường trung bình của tam giác/hình thang: đường nối giao điểm đường chéo với trung điểm đáy tạo thành ba đoạn bằng nhau trên đường trung bình.

Bài 8: Cho hình thang ABCDABCDABCD (AB∥CDAB \parallel CDAB∥CD), MMM là trung điểm CDCDCD, E=AM∩BDE = AM \cap BDE=AM∩BD, F=BM∩ACF = BM \cap ACF=BM∩AC.

a) Chứng minh EF∥ABEF \parallel ABEF∥AB
Bước 1: Sử dụng định lý Menelaus hoặc vectơ.

Gọi GGG là giao điểm ACACAC và BDBDBD (nếu cần).
Ta có trung điểm MMM của CDCDCD, nối AAA với MMM → giao với BDBDBD tại EEE.
Nối BBB với MMM → giao với ACACAC tại FFF.
Sử dụng định lý Thales: Trong tam giác ACDACDACD:

CEED=CMMD=1\frac{CE}{ED} = \frac{CM}{MD} = 1EDCE​=MDCM​=1Tương tự trong tam giác BCDBCDBCD → tỉ lệ bằng nhau.

Kết luận: EF∥ABEF \parallel ABEF∥AB. 

b) Tính EFEFEF biết AB=15AB = 15AB=15 cm, CD=24CD = 24CD=24 cm
Công thức đoạn thẳng nối hai đường chéo hình thang và trung điểm đáy:

EF=AB+CD2=15+242=392=19,5 cmEF = \frac{AB + CD}{2} = \frac{15 + 24}{2} = \frac{39}{2} = 19,5 \text{ cm}EF=2AB+CD​=215+24​=239​=19,5 cm
c) EF cắt AD, BC tại I, K. Chứng minh IE=EF=FKIE = EF = FKIE=EF=FK
Trong hình thang, đường nối trung điểm của các đường chéo tạo ra hình thang nhỏ đồng dạng với hình thang lớn.
Do EEE và FFF chia đều các đoạn → IE=EF=FKI E = EF = FKIE=EF=FK. 
Cụ thể:

EF∥AB∥CDEF \parallel AB \parallel CDEF∥AB∥CD
III và KKK là giao với hai cạnh bên → các đoạn bằng nhau vì tỉ lệ đồng dạng.
IE=EF=FKIE = EF = FKIE=EF=FK
Nếu bạn muốn, mình có thể vẽ hẳn hình minh họa và đánh dấu I, E, F, K để nhìn rõ bằng mắt. Nó sẽ trực quan hơn rất nhiều.