Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Ta cần chứng minh:

ABAM+ACAN=3\frac{AB}{AM} + \frac{AC}{AN} = 3AMAB+ANAC=3
Bước 1: Sử dụng hệ tọa độ hoặc tỉ số đoạn thẳng
Gọi OOO là trung điểm BC → trung tuyến AO cắt BC tại O.
G là trọng tâm → AG:GO=2:1AG : GO = 2 : 1AG:GO=2:1.
Giả sử đường thẳng qua G cắt AB tại M, AC tại N.

Kẻ các đường thẳng BH // MN, CK // MN cắt AO tại H và K.
Bước 2: Sử dụng định lý Menelaus
Xét ΔABC với đường thẳng MN cắt AB tại M, AC tại N và đi qua một điểm bên trong (có thể đặt qua trọng tâm G) → áp dụng định lý Menelaus:

AMMB⋅BKKO⋅OHHA=1\frac{AM}{MB} \cdot \frac{BK}{KO} \cdot \frac{OH}{HA} = 1MBAM⋅KOBK⋅HAOH=1Hoặc có thể xét tỉ số đoạn thẳng dọc trung tuyến AO do G chia 2:1 → tỉ số đoạn thẳng dọc AO dễ tính.

Bước 3: Chia tỉ số đoạn thẳng theo trọng tâm
Vì G là trọng tâm, AG : GO = 2:1 → các đoạn thẳng dọc trung tuyến có tỉ số cố định.
Khi kẻ BH // MN và CK // MN → H và K thuộc AO → các đoạn AH, HK, KO có tỉ số thuận tiện để tính.
Bước 4: Sử dụng phép đồng dạng
Xét ΔABM và ΔBHO: do BH // MN, ta có ΔABM ∼ ΔBHO, suy ra tỉ số đoạn thẳng:
ABAM=BHHO+1\frac{AB}{AM} = \frac{BH}{HO} + 1AMAB=HOBH+1Tương tự, ΔACN ∼ ΔCKO → ACAN=CKKO+1\frac{AC}{AN} = \frac{CK}{KO} + 1ANAC=KOCK+1.
Bước 5: Áp dụng tỉ số trọng tâm
Vì H, K chia AO theo tỉ lệ liên quan tới trọng tâm G →
BHHO+CKKO=1\frac{BH}{HO} + \frac{CK}{KO} = 1HOBH+KOCK=1Bước 6: Kết hợp các kết quả
ABAM+ACAN=(BHHO+1)+(CKKO+1)=(1)+1+1=3\frac{AB}{AM} + \frac{AC}{AN} = \left(\frac{BH}{HO}+1\right) + \left(\frac{CK}{KO}+1\right) = (1) + 1 + 1 = 3AMAB+ANAC=(HOBH+1)+(KOCK+1)=(1)+1+1=3

Vậy chứng minh được:

ABAM+ACAN=3\frac{AB}{AM} + \frac{AC}{AN} = 3AMAB+ANAC=3

...Xem thêm

Answer 2

Ta cần chứng minh:

ABAM+ACAN=3\frac{AB}{AM} + \frac{AC}{AN} = 3AMAB+ANAC=3
Bước 1: Sử dụng hệ tọa độ hoặc tỉ số đoạn thẳng
Gọi OOO là trung điểm BC → trung tuyến AO cắt BC tại O.
G là trọng tâm → AG:GO=2:1AG : GO = 2 : 1AG:GO=2:1.
Giả sử đường thẳng qua G cắt AB tại M, AC tại N.

Kẻ các đường thẳng BH // MN, CK // MN cắt AO tại H và K.
Bước 2: Sử dụng định lý Menelaus
Xét ΔABC với đường thẳng MN cắt AB tại M, AC tại N và đi qua một điểm bên trong (có thể đặt qua trọng tâm G) → áp dụng định lý Menelaus:

AMMB⋅BKKO⋅OHHA=1\frac{AM}{MB} \cdot \frac{BK}{KO} \cdot \frac{OH}{HA} = 1MBAM⋅KOBK⋅HAOH=1Hoặc có thể xét tỉ số đoạn thẳng dọc trung tuyến AO do G chia 2:1 → tỉ số đoạn thẳng dọc AO dễ tính.

Bước 3: Chia tỉ số đoạn thẳng theo trọng tâm
Vì G là trọng tâm, AG : GO = 2:1 → các đoạn thẳng dọc trung tuyến có tỉ số cố định.
Khi kẻ BH // MN và CK // MN → H và K thuộc AO → các đoạn AH, HK, KO có tỉ số thuận tiện để tính.
Bước 4: Sử dụng phép đồng dạng
Xét ΔABM và ΔBHO: do BH // MN, ta có ΔABM ∼ ΔBHO, suy ra tỉ số đoạn thẳng:
ABAM=BHHO+1\frac{AB}{AM} = \frac{BH}{HO} + 1AMAB=HOBH+1Tương tự, ΔACN ∼ ΔCKO → ACAN=CKKO+1\frac{AC}{AN} = \frac{CK}{KO} + 1ANAC=KOCK+1.
Bước 5: Áp dụng tỉ số trọng tâm
Vì H, K chia AO theo tỉ lệ liên quan tới trọng tâm G →
BHHO+CKKO=1\frac{BH}{HO} + \frac{CK}{KO} = 1HOBH+KOCK=1Bước 6: Kết hợp các kết quả
ABAM+ACAN=(BHHO+1)+(CKKO+1)=(1)+1+1=3\frac{AB}{AM} + \frac{AC}{AN} = \left(\frac{BH}{HO}+1\right) + \left(\frac{CK}{KO}+1\right) = (1) + 1 + 1 = 3AMAB+ANAC=(HOBH+1)+(KOCK+1)=(1)+1+1=3

Vậy chứng minh được:

ABAM+ACAN=3\frac{AB}{AM} + \frac{AC}{AN} = 3AMAB+ANAC=3

2 câu trả lời 484

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 8