Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

a) Xét tứ giác
A
B
D
C
𝐴
𝐵
𝐷
𝐶
có:
M
𝑀
là trung điểm của
B
C
𝐵
𝐶
(gt)
M
𝑀
là trung điểm của
A
D
𝐴
𝐷
(do
D
𝐷
đối xứng với
A
𝐴
qua
B
C
𝐵
𝐶
)
Suy ra
A
B
D
C
𝐴
𝐵
𝐷
𝐶
là hình bình hành
Ta có tam giác ABC là tam giác cân nên AB = AC.
Suy ra
A
B
D
C
𝐴
𝐵
𝐷
𝐶
là hình thoi (hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau)
b) Do
Δ
A
B
C
Δ
𝐴
𝐵
𝐶
cân tại
A
𝐴
, có
A
M
𝐴
𝑀
là trung tuyến (gt)
Suy ra
A
M
𝐴
𝑀
là đường cao, trung trực, phân giác
Suy ra
A
M
𝐴
𝑀
vuông góc
B
M
𝐵
𝑀
và
C
M
𝐶
𝑀
Xét tứ giác
O
A
M
B
𝑂
𝐴
𝑀
𝐵
ta có:
E
𝐸
là trung điểm của
O
M
𝑂
𝑀
và
A
B
𝐴
𝐵
(gt)
Suy ra
O
A
M
B
𝑂
𝐴
𝑀
𝐵
là hình bình hành
Suy ra
O
B
𝑂
𝐵
//
A
M
𝐴
𝑀
;
O
A
𝑂
𝐴
//
M
B
𝑀
𝐵
;
O
A
=
B
M
𝑂
𝐴
=
𝐵
𝑀
;
O
B
=
A
M
𝑂
𝐵
=
𝐴
𝑀
Mà
A
M
⊥
B
M
𝐴
𝑀
⊥
𝐵
𝑀
(cmt)
Suy ra:
A
M
⊥
O
A
𝐴
𝑀
⊥
𝑂
𝐴
;
O
B
⊥
M
B
𝑂
𝐵
⊥
𝑀
𝐵
Mà
A
M
𝐴
𝑀
//
O
B
𝑂
𝐵
(cmt)
Suy ra
O
B
⊥
O
A
𝑂
𝐵
⊥
𝑂
𝐴
Xét
Δ
A
O
B
Δ
𝐴
𝑂
𝐵
và
Δ
M
B
O
Δ
𝑀
𝐵
𝑂
(các tam giác vuông) ta có:
ˆ
A
O
B
=
ˆ
O
B
M
=
90
∘
A
O
B
^
=
O
B
M
^
=
90
∘
A
O
=
M
B
𝐴
𝑂
=
𝑀
𝐵
(cmt)
O
B
=
A
M
𝑂
𝐵
=
𝐴
𝑀
(cmt)
Suy ra
Δ
A
O
B
=
Δ
M
B
O
Δ
𝐴
𝑂
𝐵
=
Δ
𝑀
𝐵
𝑂
(c-g-c)
Suy ra
O
M
=
A
B
𝑂
𝑀
=
𝐴
𝐵
c)
O
M
=
A
B
𝑂
𝑀
=
𝐴
𝐵
(cmt)
Mà
E
M
=
E
O
=
1
2
O
M
𝐸
𝑀
=
𝐸
𝑂
=
1
2
𝑂
𝑀
;
E
A
=
E
B
=
1
2
A
B
𝐸
𝐴
=
𝐸
𝐵
=
1
2
𝐴
𝐵
Suy ra
E
O
=
E
A
=
E
M
=
E
B
𝐸
𝑂
=
𝐸
𝐴
=
𝐸
𝑀
=
𝐸
𝐵
(1)
Xét
Δ
A
B
C
Δ
𝐴
𝐵
𝐶
cân ta có:
ˆ
A
B
C
=
ˆ
A
C
B
A
B
C
^
=
A
C
B
^
và
A
B
=
A
C
𝐴
𝐵
=
𝐴
𝐶
Mà
E
A
=
E
B
=
1
2
A
B
𝐸
𝐴
=
𝐸
𝐵
=
1
2
𝐴
𝐵
;
F
A
=
F
C
=
1
2
A
C
𝐹
𝐴
=
𝐹
𝐶
=
1
2
𝐴
𝐶
(gt)
Suy ra
A
E
=
E
B
=
F
A
=
F
M
𝐴
𝐸
=
𝐸
𝐵
=
𝐹
𝐴
=
𝐹
𝑀
(2)
Xét
Δ
B
E
M
Δ
𝐵
𝐸
𝑀
và
Δ
C
M
F
Δ
𝐶
𝑀
𝐹
ta có:
B
E
=
C
F
𝐵
𝐸
=
𝐶
𝐹
(cmt)
ˆ
A
B
C
=
ˆ
A
C
B
A
B
C
^
=
A
C
B
^
(cmt)
B
M
=
C
M
𝐵
𝑀
=
𝐶
𝑀
(gt)
Suy ra
Δ
B
E
M
=
Δ
C
F
M
Δ
𝐵
𝐸
𝑀
=
Δ
𝐶
𝐹
𝑀
(c-g-c)
Suy ra
E
M
=
F
M
𝐸
𝑀
=
𝐹
𝑀
(3)
Từ (1), (2), (3) suy ra
A
E
=
A
F
=
F
M
=
M
E
𝐴
𝐸
=
𝐴
𝐹
=
𝐹
𝑀
=
𝑀
𝐸
Suy ra
A
E
M
F
𝐴
𝐸
𝑀
𝐹
là hình thoi

...Xem thêm

Answer 2

a) Xét tứ giác
A
B
D
C
𝐴
𝐵
𝐷
𝐶
có:
M
𝑀
là trung điểm của
B
C
𝐵
𝐶
(gt)
M
𝑀
là trung điểm của
A
D
𝐴
𝐷
(do
D
𝐷
đối xứng với
A
𝐴
qua
B
C
𝐵
𝐶
)
Suy ra
A
B
D
C
𝐴
𝐵
𝐷
𝐶
là hình bình hành
Ta có tam giác ABC là tam giác cân nên AB = AC.
Suy ra
A
B
D
C
𝐴
𝐵
𝐷
𝐶
là hình thoi (hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau)
b) Do
Δ
A
B
C
Δ
𝐴
𝐵
𝐶
cân tại
A
𝐴
, có
A
M
𝐴
𝑀
là trung tuyến (gt)
Suy ra
A
M
𝐴
𝑀
là đường cao, trung trực, phân giác
Suy ra
A
M
𝐴
𝑀
vuông góc
B
M
𝐵
𝑀
và
C
M
𝐶
𝑀
Xét tứ giác
O
A
M
B
𝑂
𝐴
𝑀
𝐵
ta có:
E
𝐸
là trung điểm của
O
M
𝑂
𝑀
và
A
B
𝐴
𝐵
(gt)
Suy ra
O
A
M
B
𝑂
𝐴
𝑀
𝐵
là hình bình hành
Suy ra
O
B
𝑂
𝐵
//
A
M
𝐴
𝑀
;
O
A
𝑂
𝐴
//
M
B
𝑀
𝐵
;
O
A
=
B
M
𝑂
𝐴
=
𝐵
𝑀
;
O
B
=
A
M
𝑂
𝐵
=
𝐴
𝑀
Mà
A
M
⊥
B
M
𝐴
𝑀
⊥
𝐵
𝑀
(cmt)
Suy ra:
A
M
⊥
O
A
𝐴
𝑀
⊥
𝑂
𝐴
;
O
B
⊥
M
B
𝑂
𝐵
⊥
𝑀
𝐵
Mà
A
M
𝐴
𝑀
//
O
B
𝑂
𝐵
(cmt)
Suy ra
O
B
⊥
O
A
𝑂
𝐵
⊥
𝑂
𝐴
Xét
Δ
A
O
B
Δ
𝐴
𝑂
𝐵
và
Δ
M
B
O
Δ
𝑀
𝐵
𝑂
(các tam giác vuông) ta có:
ˆ
A
O
B
=
ˆ
O
B
M
=
90
∘
A
O
B
^
=
O
B
M
^
=
90
∘
A
O
=
M
B
𝐴
𝑂
=
𝑀
𝐵
(cmt)
O
B
=
A
M
𝑂
𝐵
=
𝐴
𝑀
(cmt)
Suy ra
Δ
A
O
B
=
Δ
M
B
O
Δ
𝐴
𝑂
𝐵
=
Δ
𝑀
𝐵
𝑂
(c-g-c)
Suy ra
O
M
=
A
B
𝑂
𝑀
=
𝐴
𝐵
c)
O
M
=
A
B
𝑂
𝑀
=
𝐴
𝐵
(cmt)
Mà
E
M
=
E
O
=
1
2
O
M
𝐸
𝑀
=
𝐸
𝑂
=
1
2
𝑂
𝑀
;
E
A
=
E
B
=
1
2
A
B
𝐸
𝐴
=
𝐸
𝐵
=
1
2
𝐴
𝐵
Suy ra
E
O
=
E
A
=
E
M
=
E
B
𝐸
𝑂
=
𝐸
𝐴
=
𝐸
𝑀
=
𝐸
𝐵
(1)
Xét
Δ
A
B
C
Δ
𝐴
𝐵
𝐶
cân ta có:
ˆ
A
B
C
=
ˆ
A
C
B
A
B
C
^
=
A
C
B
^
và
A
B
=
A
C
𝐴
𝐵
=
𝐴
𝐶
Mà
E
A
=
E
B
=
1
2
A
B
𝐸
𝐴
=
𝐸
𝐵
=
1
2
𝐴
𝐵
;
F
A
=
F
C
=
1
2
A
C
𝐹
𝐴
=
𝐹
𝐶
=
1
2
𝐴
𝐶
(gt)
Suy ra
A
E
=
E
B
=
F
A
=
F
M
𝐴
𝐸
=
𝐸
𝐵
=
𝐹
𝐴
=
𝐹
𝑀
(2)
Xét
Δ
B
E
M
Δ
𝐵
𝐸
𝑀
và
Δ
C
M
F
Δ
𝐶
𝑀
𝐹
ta có:
B
E
=
C
F
𝐵
𝐸
=
𝐶
𝐹
(cmt)
ˆ
A
B
C
=
ˆ
A
C
B
A
B
C
^
=
A
C
B
^
(cmt)
B
M
=
C
M
𝐵
𝑀
=
𝐶
𝑀
(gt)
Suy ra
Δ
B
E
M
=
Δ
C
F
M
Δ
𝐵
𝐸
𝑀
=
Δ
𝐶
𝐹
𝑀
(c-g-c)
Suy ra
E
M
=
F
M
𝐸
𝑀
=
𝐹
𝑀
(3)
Từ (1), (2), (3) suy ra
A
E
=
A
F
=
F
M
=
M
E
𝐴
𝐸
=
𝐴
𝐹
=
𝐹
𝑀
=
𝑀
𝐸
Suy ra
A
E
M
F
𝐴
𝐸
𝑀
𝐹
là hình thoi

Answer 3

a) Chứng minh tứ giác ABDCABDC là hình thoi

Để chứng minh tứ giác ABDCABDC là hình thoi, ta cần chứng minh nó có bốn cạnh bằng nhau, hoặc nó là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau, hoặc nó là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau.

Sử dụng tính chất đối xứng và tam giác cân:

Vì △ABC△ABC cân tại AA và MM là trung điểm của BCBC, nên AMAM là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy BCBC. Trong tam giác cân, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy đồng thời là đường cao và đường trung trực của cạnh đáy.⇒AM⊥BC(∗)⇒AM⊥BC(∗)
DD đối xứng với AA qua BCBC có nghĩa là BCBC là đường trung trực của đoạn thẳng ADAD.BCBC đi qua trung điểm của ADAD, mà MM là trung điểm của BCBC, do đó BCBC cắt ADAD tại trung điểm của ADAD. Vì MM nằm trên BCBC, nên MM là trung điểm của ADAD.
Do BCBC là đường trung trực của ADAD, ta có: AB=DBAB=DB và AC=DCAC=DC.
Xét tứ giác ABDCABDC:

Vì △ABC△ABC cân tại AA, ta có AB=ACAB=AC.
Từ các hệ quả trên, ta có:AB=AC(gt)AB=AC(gt)AB=DB(do BC laˋ trung trực của AD)AB=DB(do BC laˋ trung trực của AD)AC=DC(do BC laˋ trung trực của AD)AC=DC(do BC laˋ trung trực của AD)
Suy ra: AB=AC=DB=DCAB=AC=DB=DC.
Tứ giác ABDCABDC có bốn cạnh bằng nhau, do đó ABDCABDC là hình thoi.
b) Chứng minh ADAD vuông góc BCBC

Sử dụng tính chất đối xứng:

DD đối xứng với AA qua BCBC có nghĩa là BCBC là đường trung trực của đoạn thẳng ADAD.
Theo định nghĩa đường trung trực, mọi điểm nằm trên đường trung trực thì cách đều hai mút của đoạn thẳng. Quan trọng hơn, đường trung trực của một đoạn thẳng thì vuông góc với đoạn thẳng đó tại trung điểm của nó.
Vì MM là trung điểm của BCBC và MM cũng là trung điểm của ADAD (vì BCBC là đường trung trực của ADAD), nên ADAD và BCBC cắt nhau tại MM.
Đường thẳng BCBC là đường trung trực của đoạn thẳng ADAD, nên AD⊥BCAD⊥BC tại MM.
Sử dụng kết quả câu a:

Trong câu a), ta đã chứng minh được AM⊥BCAM⊥BC (vì △ABC△ABC cân tại AA và MM là trung điểm BCBC).
Vì DD đối xứng với AA qua BCBC, nên A,M,DA,M,D thẳng hàng (do MM là trung điểm của ADAD, và đường trung trực BCBC vuông góc với ADAD tại MM).
Do A,M,DA,M,D thẳng hàng, nên đường thẳng ADAD chính là đường thẳng AMAM.
Vì AM⊥BCAM⊥BC, nên AD⊥BCAD⊥BC.

Tóm tắt kết quả: a) Tứ giác ABDCABDC là hình thoi vì nó có bốn cạnh bằng nhau: AB=AC=DB=DCAB=AC=DB=DC. b) AD⊥BCAD⊥BC vì BCBC là đường trung trực của ADAD (do DD đối xứng với AA qua BCBC). Hoặc, vì A,M,DA,M,D thẳng hàng và AM⊥BCAM⊥BC, nên AD⊥BCAD⊥BC.

CRE: 乂༒sadboy 2k1༒乂

...Xem thêm

Answer 4

a) Chứng minh tứ giác ABDCABDC là hình thoi

Để chứng minh tứ giác ABDCABDC là hình thoi, ta cần chứng minh nó có bốn cạnh bằng nhau, hoặc nó là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau, hoặc nó là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau.

Sử dụng tính chất đối xứng và tam giác cân:

Vì △ABC△ABC cân tại AA và MM là trung điểm của BCBC, nên AMAM là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy BCBC. Trong tam giác cân, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy đồng thời là đường cao và đường trung trực của cạnh đáy.⇒AM⊥BC(∗)⇒AM⊥BC(∗)
DD đối xứng với AA qua BCBC có nghĩa là BCBC là đường trung trực của đoạn thẳng ADAD.BCBC đi qua trung điểm của ADAD, mà MM là trung điểm của BCBC, do đó BCBC cắt ADAD tại trung điểm của ADAD. Vì MM nằm trên BCBC, nên MM là trung điểm của ADAD.
Do BCBC là đường trung trực của ADAD, ta có: AB=DBAB=DB và AC=DCAC=DC.
Xét tứ giác ABDCABDC:

Vì △ABC△ABC cân tại AA, ta có AB=ACAB=AC.
Từ các hệ quả trên, ta có:AB=AC(gt)AB=AC(gt)AB=DB(do BC laˋ trung trực của AD)AB=DB(do BC laˋ trung trực của AD)AC=DC(do BC laˋ trung trực của AD)AC=DC(do BC laˋ trung trực của AD)
Suy ra: AB=AC=DB=DCAB=AC=DB=DC.
Tứ giác ABDCABDC có bốn cạnh bằng nhau, do đó ABDCABDC là hình thoi.
b) Chứng minh ADAD vuông góc BCBC

Sử dụng tính chất đối xứng:

DD đối xứng với AA qua BCBC có nghĩa là BCBC là đường trung trực của đoạn thẳng ADAD.
Theo định nghĩa đường trung trực, mọi điểm nằm trên đường trung trực thì cách đều hai mút của đoạn thẳng. Quan trọng hơn, đường trung trực của một đoạn thẳng thì vuông góc với đoạn thẳng đó tại trung điểm của nó.
Vì MM là trung điểm của BCBC và MM cũng là trung điểm của ADAD (vì BCBC là đường trung trực của ADAD), nên ADAD và BCBC cắt nhau tại MM.
Đường thẳng BCBC là đường trung trực của đoạn thẳng ADAD, nên AD⊥BCAD⊥BC tại MM.
Sử dụng kết quả câu a:

Trong câu a), ta đã chứng minh được AM⊥BCAM⊥BC (vì △ABC△ABC cân tại AA và MM là trung điểm BCBC).
Vì DD đối xứng với AA qua BCBC, nên A,M,DA,M,D thẳng hàng (do MM là trung điểm của ADAD, và đường trung trực BCBC vuông góc với ADAD tại MM).
Do A,M,DA,M,D thẳng hàng, nên đường thẳng ADAD chính là đường thẳng AMAM.
Vì AM⊥BCAM⊥BC, nên AD⊥BCAD⊥BC.

Tóm tắt kết quả: a) Tứ giác ABDCABDC là hình thoi vì nó có bốn cạnh bằng nhau: AB=AC=DB=DCAB=AC=DB=DC. b) AD⊥BCAD⊥BC vì BCBC là đường trung trực của ADAD (do DD đối xứng với AA qua BCBC). Hoặc, vì A,M,DA,M,D thẳng hàng và AM⊥BCAM⊥BC, nên AD⊥BCAD⊥BC.

CRE: 乂༒sadboy 2k1༒乂

Answer 5

a) Chứng minh tứ giác ABDC là hình thoi:

AM là đường trung tuyến và đường cao: Vì △ABC
cân tại A, M là trung điểm BC, nên AM⟂BC
.
M là trung điểm AD: Vì D đối xứng với A qua BC, nên M là trung điểm AD.
ABDC là hình bình hành: Tứ giác có hai đường chéo AD và BC cắt nhau tại trung điểm M của mỗi đường.
ABDC là hình thoi: Hình bình hành có hai cạnh kề AB = AC (do △ABC cân).

b) Chứng minh AD vuông góc BC:
Theo tính chất của hai điểm đối xứng qua một đường thẳng, đoạn thẳng nối hai điểm đó (AD) vuông góc với trục đối xứng (BC).

3 câu trả lời 204

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 8