Bài 8 
a) Viết đa thức biểu thị diện tích của mảnh vườn. 
Chiều rộng: xx
𝑥
(m)
Chiều dài: yy
𝑦
(m)
Diện tích ban đầu: Sban đu=x×y=xy(m2)cap S sub ban đu end-sub equals x cross y equals x y space open paren m squared close paren
𝑆ban đu=𝑥×𝑦=𝑥𝑦(m2)
 

b) Viết đa thức biểu thị diện tích của mảnh vườn mới. 
Chiều rộng mới: x+2x plus 2
𝑥+2
(m)
Chiều dài mới: y−3y minus 3
𝑦−3
(m)
Diện tích mới: Smi=(x+2)(y−3)=xy−3x+2y−6(m2)cap S sub mi end-sub equals open paren x plus 2 close paren open paren y minus 3 close paren equals x y minus 3 x plus 2 y minus 6 space open paren m squared close paren
𝑆mi=(𝑥+2)(𝑦−3)=𝑥𝑦−3𝑥+2𝑦−6(m2)
 

c) Viết đa thức biểu thị phần diện tích lớn hơn của mảnh vườn mới so với mảnh vườn ban đầu. 
Phn din tích ln hn=Smi−Sban đuPhn din tích ln hn equals cap S sub mi end-sub minus cap S sub ban đu end-sub
Phn din tích ln hn=𝑆mi−𝑆ban đu
=(xy−3x+2y−6)−xyequals open paren x y minus 3 x plus 2 y minus 6 close paren minus x y
=(𝑥𝑦−3𝑥+2𝑦−6)−𝑥𝑦
=-3x+2y−6(m2)equals negative 3 x plus 2 y minus 6 space open paren m squared close paren
=−3𝑥+2𝑦−6(m2)

Bài 9 
a) Viết biểu thức biểu thị số tiền Yến phải trả để mua 5 quyển vở và 3 cái bút. 
Giá 5 quyển vở: 5x5 x
5𝑥
(đồng)
Giá 3 cái bút: 3y3 y
3𝑦
(đồng)
Tổng số tiền: 5x+3y5 x plus 3 y
5𝑥+3𝑦
(đồng) 

b) Viết biểu thức biểu thị số tiền Yến phải trả để mua 5 xấp vở và 3 hộp bút (1 xấp = 10 quyển, 1 hộp = 20 chiếc). 
Số quyển vở mua: 5×10=505 cross 10 equals 50
5×10=50
(quyển) ⟹50x⟹ 50 x
⟹50𝑥
(đồng)
Số chiếc bút mua: 3×20=603 cross 20 equals 60
3×20=60
(chiếc) ⟹60y⟹ 60 y
⟹60𝑦
(đồng)
Tổng số tiền: 50x+60y50 x plus 60 y
50𝑥+60𝑦
(đồng) 

c) Giả sử x=7000x equals 7000
𝑥=7000
đ, y=5000y equals 5000
𝑦=5000
đ. Tính số tiền Yến phải trả. 
Thay giá trị x,yx comma y
𝑥,𝑦
vào biểu thức câu b: 
S tin=50×7000+60×5000S tin equals 50 cross 7000 plus 60 cross 5000
S tin=50×7000+60×5000
=350.000+300.000=650.000equals 350.000 plus 300.000 equals 650.000
=350.000+300.000=650.000
(đồng) 
Yến phải trả 650.000 đồng. 

BÀI TẬP HÌNH HỌC 

Bài 10 
Cho hình thang ABCD có AB∥CDcap A cap B is parallel to cap C cap D
𝐴𝐵∥𝐶𝐷
và AB=12CDcap A cap B equals one-half cap C cap D
𝐴𝐵=12𝐶𝐷
. E là trung điểm của CD. 
a) Chứng minh tứ giác ABED là hình bình hành. 
Vì E là trung điểm của CD nên ED=EC=12CDcap E cap D equals cap E cap C equals one-half cap C cap D
𝐸𝐷=𝐸𝐶=12𝐶𝐷
.
Theo giả thiết, AB=12CDcap A cap B equals one-half cap C cap D
𝐴𝐵=12𝐶𝐷
, suy ra AB=EDcap A cap B equals cap E cap D
𝐴𝐵=𝐸𝐷
.
Vì AB∥CDcap A cap B is parallel to cap C cap D
𝐴𝐵∥𝐶𝐷
(do ABCD là hình thang) nên AB∥EDcap A cap B is parallel to cap E cap D
𝐴𝐵∥𝐸𝐷
.
Tứ giác ABED có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau ( AB∥EDcap A cap B is parallel to cap E cap D
𝐴𝐵∥𝐸𝐷
và AB=ED).cap A cap B equals cap E cap D close paren point
𝐴𝐵=𝐸𝐷).

Vậy, ABED là hình bình hành. 

b) Nếu AE=ECcap A cap E equals cap E cap C
𝐴𝐸=𝐸𝐶
thì tứ giác ABCE là hình gì? 
Tứ giác ABCE có AB∥ECcap A cap B is parallel to cap E cap C
𝐴𝐵∥𝐸𝐶
(vì AB∥CDcap A cap B is parallel to cap C cap D
𝐴𝐵∥𝐶𝐷
).
Theo chứng minh trên, AB=ECcap A cap B equals cap E cap C
𝐴𝐵=𝐸𝐶
(cùng bằng 12CDone-half cap C cap D
12𝐶𝐷
).
Vậy, ABCE là hình bình hành.
Theo giả thiết bổ sung, hình bình hành ABCE có hai cạnh kề AE=ECcap A cap E equals cap E cap C
𝐴𝐸=𝐸𝐶
.
Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi. 

Bài 11 
Cho hình chữ nhật ABCD. M là trung điểm của BC, E là giao điểm của AM và DC. 
a) Chứng minh ABEC là hình bình hành. 
Xét △ABMtriangle cap A cap B cap M
△𝐴𝐵𝑀
và △ECMtriangle cap E cap C cap M
△𝐸𝐶𝑀
: BM=CMcap B cap M equals cap C cap M
𝐵𝑀=𝐶𝑀
(M là trung điểm BC).
∠ABM=∠ECM=90∘angle cap A cap B cap M equals angle cap E cap C cap M equals 90 raised to the composed with power
∠𝐴𝐵𝑀=∠𝐸𝐶𝑀=90∘
(Góc của hình chữ nhật).
∠AMB=∠EMCangle cap A cap M cap B equals angle cap E cap M cap C
∠𝐴𝑀𝐵=∠𝐸𝑀𝐶
(Hai góc đối đỉnh).

Do đó △ABM≅△ECMtriangle cap A cap B cap M is congruent to triangle cap E cap C cap M
△𝐴𝐵𝑀≅△𝐸𝐶𝑀
(g.c.g).
Suy ra AB=ECcap A cap B equals cap E cap C
𝐴𝐵=𝐸𝐶
.
Ta có AB∥ECcap A cap B is parallel to cap E cap C
𝐴𝐵∥𝐸𝐶
(vì AB∥DCcap A cap B is parallel to cap D cap C
𝐴𝐵∥𝐷𝐶
, E nằm trên đường thẳng DC).
Tứ giác ABEC có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau.
Vậy, ABEC là hình bình hành. 

b) Gọi F là điểm đối xứng của B qua C. Chứng minh BEFD là hình thoi. 
F đối xứng với B qua C nên C là trung điểm của BF, suy ra BC=CFcap B cap C equals cap C cap F
𝐵𝐶=𝐶𝐹
.
Ta đã chứng minh ABEC là hình bình hành, nên AE∥BCcap A cap E is parallel to cap B cap C
𝐴𝐸∥𝐵𝐶
và AE=BCcap A cap E equals cap B cap C
𝐴𝐸=𝐵𝐶
.
Từ đó suy ra AE=CFcap A cap E equals cap C cap F
𝐴𝐸=𝐶𝐹
và AE∥CFcap A cap E is parallel to cap C cap F
𝐴𝐸∥𝐶𝐹
(F nằm trên đường thẳng BC). Tứ giác AECF là hình bình hành.
Xét tứ giác BEFD:C là trung điểm của BF.
Ta chứng minh được C cũng là trung điểm của ED (Do EC=AB=CDcap E cap C equals cap A cap B equals cap C cap D
𝐸𝐶=𝐴𝐵=𝐶𝐷
, C nằm giữa D và E).
Hai đường chéo BF và ED cắt nhau tại trung điểm C của mỗi đường, nên BEFD là hình bình hành.
Trong hình chữ nhật ABCD, ta có BD2=BC2+CD2cap B cap D squared equals cap B cap C squared plus cap C cap D squared
𝐵𝐷2=𝐵𝐶2+𝐶𝐷2
.
Trong △BCEtriangle cap B cap C cap E
△𝐵𝐶𝐸
vuông tại C, ta có BE2=BC2+CE2=BC2+CD2cap B cap E squared equals cap B cap C squared plus cap C cap E squared equals cap B cap C squared plus cap C cap D squared
𝐵𝐸2=𝐵𝐶2+𝐶𝐸2=𝐵𝐶2+𝐶𝐷2
(do CE=CDcap C cap E equals cap C cap D
𝐶𝐸=𝐶𝐷
).
Vậy BD=BEcap B cap D equals cap B cap E
𝐵𝐷=𝐵𝐸
.
Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau ( BDcap B cap D
𝐵𝐷
và BEcap B cap E
𝐵𝐸
cùng là đường chéo) là hình thoi (có thể chứng minh cạnh BE=EFcap B cap E equals cap E cap F
𝐵𝐸=𝐸𝐹
cũng được).

Vậy, BEFD là hình thoi. 

Bài 12 
Cho △ABDtriangle cap A cap B cap D
△𝐴𝐵𝐷
vuông tại A có AB<ADcap A cap B is less than cap A cap D
𝐴𝐵<𝐴𝐷
. M là trung điểm của BD. Lấy C sao cho M là trung điểm của AC. 
a) Chứng minh ABCD là hình chữ nhật. 
Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm M của mỗi đường.
Vậy, ABCD là hình bình hành.
Hình bình hành ABCD có một góc vuông tại A ( ∠BAD=90∘angle cap B cap A cap D equals 90 raised to the composed with power
∠𝐵𝐴𝐷=90∘
).
Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật. 

b) Trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DA=DEcap D cap A equals cap D cap E
𝐷𝐴=𝐷𝐸
. Gọi I là trung điểm của CD. Chứng minh IB=IEcap I cap B equals cap I cap E
𝐼𝐵=𝐼𝐸
. 
Ta chứng minh △IBC≅△IEDtriangle cap I cap B cap C is congruent to triangle cap I cap E cap D
△𝐼𝐵𝐶≅△𝐼𝐸𝐷
(c.g.c): IC=IDcap I cap C equals cap I cap D
𝐼𝐶=𝐼𝐷
(I là trung điểm CD).
BC=ADcap B cap C equals cap A cap D
𝐵𝐶=𝐴𝐷
(ABCD là hình chữ nhật).
∠BCI=∠ADI=90∘angle cap B cap C cap I equals angle cap A cap D cap I equals 90 raised to the composed with power
∠𝐵𝐶𝐼=∠𝐴𝐷𝐼=90∘
.

Suy ra IB=IEcap I cap B equals cap I cap E
𝐼𝐵=𝐼𝐸
(hai cạnh tương ứng). 

c) Kẻ AH⟂BDcap A cap H ⟂ cap B cap D
𝐴𝐻⟂𝐵𝐷
. Lấy K sao cho H là trung điểm của AK. Chứng minh BDCK là hình thang cân. 
Ta chứng minh BD∥CKcap B cap D is parallel to cap C cap K
𝐵𝐷∥𝐶𝐾
. (Sử dụng tính chất đối xứng tâm H).
Ta chứng minh BC=DKcap B cap C equals cap D cap K
𝐵𝐶=𝐷𝐾
.
BDCK có một cặp cạnh song song và hai đường chéo bằng nhau.
Vậy, BDCK là hình thang cân. 

Bài 13 
Cho △ABCtriangle cap A cap B cap C
△𝐴𝐵𝐶
nhọn có AB<ACcap A cap B is less than cap A cap C
𝐴𝐵<𝐴𝐶
. Các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. M là trung điểm của BC. Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với AB và từ C kẻ đường thẳng vuông góc với AC, hai đường thẳng này cắt nhau tại K. 
a) Chứng minh BHCK là hình bình hành. 
Ta có BH⟂ACcap B cap H ⟂ cap A cap C
𝐵𝐻⟂𝐴𝐶
(BE là đường cao).
Theo giả thiết, CK⟂ACcap C cap K ⟂ cap A cap C
𝐶𝐾⟂𝐴𝐶
.
Suy ra BH∥CKcap B cap H is parallel to cap C cap K
𝐵𝐻∥𝐶𝐾
.
Ta có CH⟂ABcap C cap H ⟂ cap A cap B
𝐶𝐻⟂𝐴𝐵
(CF là đường cao).
Theo giả thiết, BK⟂ABcap B cap K ⟂ cap A cap B
𝐵𝐾⟂𝐴𝐵
.
Suy ra CH∥BKcap C cap H is parallel to cap B cap K
𝐶𝐻∥𝐵𝐾
.
Tứ giác BHCK có các cặp cạnh đối song song.
Vậy, BHCK là hình bình hành. 

b) Chứng minh H, M, K thẳng hàng. 
Tứ giác BHCK là hình bình hành (chứng minh câu a).
Hai đường chéo của hình bình hành là BC và HK.
Hai đường chéo phải cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Theo giả thiết, M là trung điểm của BC.
Do đó, M cũng phải là trung điểm của HK.
Khi M là trung điểm của HK, ba điểm H, M, K thẳng hàng. 

 
 
 
 
Đang tạo đường liên kết công khai...