Để tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình chóp tam giác đều, ta cần xác định các yếu tố sau:

- Cạnh đáy \(a = 4 \text{ cm}\)
- Chiều cao mặt bên kẻ từ đỉnh \(l = 6 \text{ cm}\)
- Diện tích mặt đáy bằng \(4\sqrt{3} \text{ cm}^2\)

Tuy nhiên, có một điểm cần làm rõ: hình chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều, nên diện tích đáy tính theo cạnh đáy là:

\[
S_{đáy} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2
\]

Với \(a = 4 \text{ cm}\):

\[
S_{đáy} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 16 = 4\sqrt{3} \text{ cm}^2
\]

Điều này phù hợp với dữ liệu đề bài.

---

 Bước 1: Tìm chiều cao của hình chóp (h)

Trong hình chóp tam giác đều, chiều cao \(h\) của hình chóp (từ đỉnh xuống đáy) có thể tính dựa trên mối liên hệ giữa chiều cao mặt bên \(l\) và chiều cao của hình chóp \(h\).

Trong mặt cắt bên qua đỉnh và trung điểm cạnh đáy, tam giác tạo thành là tam giác vuông, với:

- Độ dài đường cao của tam giác đáy (từ trung điểm cạnh đáy đến đỉnh của tam giác đáy) là:

\[
m = \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{4 \sqrt{3}}{2} = 2 \sqrt{3} \text{ cm}
\]

- Chiều cao mặt bên (kẻ từ đỉnh đến mặt phẳng đáy) là \(l = 6 \text{ cm}\).

Trong tam giác vuông gồm chiều cao hình chóp \(h\), chiều cao mặt bên \(l\), và khoảng cách từ đỉnh xuống trung điểm cạnh đáy \(m\), ta có:

\[
l^2 = h^2 + m^2
\]

\[
6^2 = h^2 + (2 \sqrt{3})^2
\]

\[
36 = h^2 + 4 \times 3 = h^2 + 12
\]

\[
h^2 = 36 - 12 = 24
\]

\[
h = \sqrt{24} = 2 \sqrt{6} \text{ cm}
\]

---

Bước 2: Tính diện tích xung quanh

Diện tích xung quanh của hình chóp gồm các mặt bên là tam giác, với diện tích của mỗi mặt bên:

\[
A_{mặt} = \frac{1}{2} \times a \times l
\]

Với \(a=4 \text{ cm}\), \(l=6 \text{ cm}\):

\[
A_{mặt} = \frac{1}{2} \times 4 \times 6 = 12 \text{ cm}^2
\]

Vì hình chóp tam giác đều có 3 mặt bên giống nhau, diện tích xung quanh là:

\[
A_{xq} = 3 \times 12 = 36 \text{ cm}^2
\]

---

 Bước 3: Tính diện tích toàn phần

Diện tích toàn phần là tổng diện tích đáy và diện tích xung quanh:

\[
A_{tp} = S_{đáy} + A_{xq} = 4 \sqrt{3} + 36 \text{ cm}^2
\]

---

Kết quả:

- Diện tích xung quanh: ```36 cm^2```
- Diện tích toàn phần:\(4 \sqrt{3} + 36 \text{ cm}^2\)