(Giả định: Đề bài gõ nhầm "tam giác $ABCD$" và ý đúng là "tam giác $ABC$ vuông tại $A$")

Tóm tắt đề bài:

$\triangle ABC$ vuông tại $A$.
$AB = 14$ cm.
$BC = 50$ cm.
$d$ là đường trung trực của $AC$.
$BK$ là tia phân giác của $\angle B$.
$K$ là giao điểm của $d$ và $BK$.
a) Chứng minh $\angle BKC = 90^\circ$.
b) Tính độ dài $KB$.

 

Bước 1: Tính độ dài cạnh $AC$
 

Áp dụng định lý Pythagoras cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$:

$AB^2 + AC^2 = BC^2$
$14^2 + AC^2 = 50^2$
$196 + AC^2 = 2500$
$AC^2 = 2500 - 196 = 2304$
$AC = \sqrt{2304} = 48 \text{ cm}$
 

Bước 2: Thiết lập hệ tọa độ và tìm tọa độ $K$
 

Để giải bài toán này một cách chính xác nhất, ta đặt tam giác $ABC$ vào hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho:

$A$ trùng với gốc tọa độ $O$: $A = (0, 0)$.
$AB$ nằm trên trục $Ox$: $B = (14, 0)$.
$AC$ nằm trên trục $Oy$: $C = (0, 48)$.
(Ta kiểm tra lại: $AB = 14$, $AC = 48$. $BC^2 = (14-0)^2 + (0-48)^2 = 14^2 + 48^2 = 196 + 2304 = 2500 \implies BC = 50$. Hoàn toàn khớp với đề bài.)

1. Tìm phương trình đường trung trực $d$ của $AC$:

$d$ là đường trung trực của $AC$, nên $d$ đi qua trung điểm $M$ của $AC$ và $d \perp AC$.
Trung điểm $M$ của $AC$: $M = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+48}{2}\right) = (0, 24)$.
Vì $AC$ nằm trên trục $Oy$, nên $d$ phải vuông góc với trục $Oy$, tức là $d$ là đường thẳng song song với trục $Ox$ và đi qua $M(0, 24)$.
Phương trình đường thẳng $d$ là: $\mathbf{y = 24}$.
2. Tìm phương trình đường phân giác $BK$:

$BK$ là tia phân giác của $\angle B$. Theo định lý đường phân giác, $BK$ cắt $AC$ tại điểm $J$ sao cho:

$\frac{JA}{JC} = \frac{AB}{BC}$
Ta có $\frac{JA}{JC} = \frac{14}{50} = \frac{7}{25}$.
Mà $JA + JC = AC = 48$.
$JA = \frac{7}{7+25} \cdot AC = \frac{7}{32} \cdot 48 = 10.5$ cm.
Điểm $J$ nằm trên $AC$ (trục $Oy$) và cách $A(0, 0)$ một đoạn $10.5$, vậy $J = (0, 10.5)$.
Đường thẳng $BK$ là đường thẳng đi qua $B(14, 0)$ và $J(0, 10.5)$.
Phương trình $BK$ (theo đoạn chắn) là: $\frac{x}{14} + \frac{y}{10.5} = 1$.
3. Tìm tọa độ $K$:

$K$ là giao điểm của $d$ ($y=24$) và $BK$ ($\frac{x}{14} + \frac{y}{10.5} = 1$).
Thay $y_K = 24$ vào phương trình $BK$:

$\frac{x_K}{14} + \frac{24}{10.5} = 1$
$\frac{x_K}{14} + \frac{240}{105} = 1$
$\frac{x_K}{14} + \frac{16}{7} = 1$
$\frac{x_K}{14} = 1 - \frac{16}{7} = \frac{7-16}{7} = -\frac{9}{7}$
$14^2 + AC^2 = 50^2$0
Vậy, tọa độ $K$ là $\mathbf{K = (-18, 24)}$.

 

a) Chứng minh $\angle BKC = 90^\circ$
 

Để chứng minh $\angle BKC = 90^\circ$, ta sử dụng định lý Pythagoras đảo cho $\triangle KBC$. Ta cần tính $KB^2$, $KC^2$ và $BC^2$.

$B = (14, 0)$
$C = (0, 48)$
$K = (-18, 24)$
1. Tính $KB^2$:

$14^2 + AC^2 = 50^2$1
$14^2 + AC^2 = 50^2$2
$14^2 + AC^2 = 50^2$3
2. Tính $KC^2$:

$14^2 + AC^2 = 50^2$4
$14^2 + AC^2 = 50^2$5
$14^2 + AC^2 = 50^2$6
3. Tính $BC^2$:

$14^2 + AC^2 = 50^2$7
4. Kiểm tra:

Ta thấy $KB^2 + KC^2 = 1600 + 900 = 2500$.

Vì $KB^2 + KC^2 = BC^2$, nên theo định lý Pythagoras đảo, $\triangle KBC$ vuông tại $K$.

Vậy, $\mathbf{\angle BKC = 90^\circ}$ (điều phải chứng minh).

b) Tính độ dài $KB$
 

Từ các phép tính ở câu a, ta có:

$14^2 + AC^2 = 50^2$8
$14^2 + AC^2 = 50^2$9