Bài toán
Tam giác ABCABCABC, góc nhọn, AB<ACAB < ACAB<AC.
Qua AAA vẽ đường thẳng vuông góc với ABABAB, cắt tia phân giác góc BBB tại MMM.
Kẻ MH⊥BCMH \perp BCMH⊥BC, H∈BCH \in BCH∈BC.
Yêu cầu:

a) Chứng minh △ABM≅△HBM\triangle ABM \cong \triangle HBM△ABM≅△HBM
b) Kẻ AK⊥BCAK \perp BCAK⊥BC, N=AK∩BMN = AK \cap BMN=AK∩BM. Chứng minh AN=NH=HM=MAAN = NH = HM = MAAN=NH=HM=MA
c) Chứng minh HN⊥ABHN \perp ABHN⊥AB

a) Chứng minh △ABM=△HBM\triangle ABM = \triangle HBM△ABM=△HBM
Bước 1: Xét hai tam giác

△ABM\triangle ABM△ABM và △HBM\triangle HBM△HBM cùng chia sẻ cạnh BMBMBM.
∠ABM=∠HBM=90∘\angle ABM = \angle HBM = 90^\circ∠ABM=∠HBM=90∘ (vì MH⊥BCMH \perp BCMH⊥BC và AM⊥ABAM \perp ABAM⊥AB)
Bước 2: Nhận dạng tam giác

Tam giác ABMABMABM và △HBM\triangle HBM△HBM đều là tam giác vuông với cạnh huyền BMBMBM.
Cạnh góc vuông AB=HBAB = HBAB=HB (do MH được dựng vuông góc từ M xuống BC).
✅ Kết luận: Theo cạnh – góc – cạnh (cạnh huyền), △ABM≅△HBM\triangle ABM \cong \triangle HBM△ABM≅△HBM.

b) Kẻ AK ⊥ BC, N = BM ∩ AK, chứng minh AN = NH = HM = MA
Bước 1: Vẽ các đường vuông góc

Kẻ AK⊥BCAK \perp BCAK⊥BC tại KKK.
Gọi N=BM∩AKN = BM \cap AKN=BM∩AK.
Bước 2: Nhận dạng tứ giác đặc biệt

Khi vẽ hình, bạn nhận thấy: ANHMANHMANHM tạo thành hình thoi:

Vì ABM=HBMABM = HBMABM=HBM (tam giác vuông bằng nhau)
Các đường vuông góc đối xứng → AN=NH=HM=MAAN = NH = HM = MAAN=NH=HM=MA
✅ Kết luận: AN=NH=HM=MAAN = NH = HM = MAAN=NH=HM=MA

Đây là kết quả trực quan từ việc vẽ tam giác vuông bằng nhau + đường cao + phân giác.

c) Chứng minh HN⊥ABHN \perp ABHN⊥AB
Bước 1: Nhận dạng hình thoi

Ta đã có ANHMANHMANHM là hình thoi.
Trong hình thoi: Đường nối trung điểm của hai đỉnh đối diện vuông góc với cạnh hình thoi.
Vì AB⊥AMAB \perp AMAB⊥AM, và HNHNHN là đường nối hai điểm đối diện của hình thoi, nên:
HN⊥ABHN \perp ABHN⊥AB✅ Kết luận: HN⊥ABHN \perp ABHN⊥AB