Chào bạn, chúng ta cùng nhau giải bài toán hình học này nhé.

Tóm tắt đề bài: Cho tam giác nhọn ABC có AB<BCAB<BC.

M là trung điểm của AB.
Đường thẳng qua M song song với BC cắt AC tại N.
D thuộc BC sao cho BD=MNBD=MN.
AH là đường cao của tam giác ABC (H thuộc BC).
Yêu cầu: Chứng minh: a) Tứ giác BMND là hình bình hành. b) Tam giác AMH cân. c) Tứ giác DHMN là hình thang cân.

a) Chứng minh tứ giác BMND là hình bình hành.

MN song song với BC: Theo đề bài, đường thẳng MN song song với BC. Vì D nằm trên BC, nên MN∥BDMN∥BD.
Độ dài MN: Vì M là trung điểm của AB và MN song song với BC, theo định lý đường trung bình của tam giác, N phải là trung điểm của AC và độ dài đoạn MN bằng một nửa độ dài cạnh BC. Do đó, MN=12BCMN=21​BC.
Độ dài BD: Theo đề bài, ta có BD=MNBD=MN. Kết hợp với MN=12BCMN=21​BC, ta suy ra BD=12BCBD=21​BC. Điều này có nghĩa là D là trung điểm của BC.
Kết luận: Tứ giác BMND có cặp cạnh đối MN và BD song song (vì MN∥BCMN∥BC) và bằng nhau (vì MN=BDMN=BD). Một tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau thì đó là hình bình hành. Vậy, tứ giác BMND là hình bình hành.

b) Chứng minh tam giác AMH cân.

AM là trung tuyến của tam giác vuông AHB: Xét tam giác AHB, ta có ∠AHB=90∘∠AHB=90∘ (vì AH là đường cao). AB là cạnh huyền của tam giác vuông này. M là trung điểm của AB theo đề bài. Do đó, AM là một nửa cạnh huyền AB, AM=12ABAM=21​AB.
Tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông: Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền. Đoạn thẳng MH nối trung điểm M của cạnh huyền AB với đỉnh góc vuông H chính là đường trung tuyến này (vì M là trung điểm AB, và xét tam giác AHB vuông tại H, MH là đường nối trung điểm cạnh huyền AB với đỉnh đối diện là H). Tuy nhiên, MH không hẳn là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AB vì H không phải là đỉnh góc vuông của tam giác ABC. Mà MH là đường trung tuyến của tam giác ABH, nối trung điểm M của cạnh huyền AB với đỉnh H. Đúng hơn, xét tam giác AHB vuông tại H. M là trung điểm của cạnh huyền AB. Theo tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông, đường trung tuyến kẻ từ đỉnh góc vuông tới cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền. Trong tam giác AHB vuông tại H, M là trung điểm của AB. Vậy MH là đường trung tuyến của tam giác AHB kẻ từ H đến cạnh AB. Do đó, MH=12ABMH=21​AB.
So sánh độ dài các cạnh: Ta có AM=12ABAM=21​AB (do M là trung điểm AB) và MH=12ABMH=21​AB (do MH là trung tuyến ứng với cạnh huyền AB trong tam giác vuông AHB). Suy ra AM=MHAM=MH.
Kết luận: Tam giác AMH có hai cạnh bằng nhau (AM = MH), nên là tam giác cân.

c) Chứng minh tứ giác DHMN là hình thang cân.

Xác định cặp cạnh song song:

Từ phần a), ta biết BMND là hình bình hành, do đó MN∥BDMN∥BD.
Vì D nằm trên BC, nên MN∥DHMN∥DH.
Như vậy, tứ giác DHMN có cặp cạnh đối MN và DH song song, nên DHMN là hình thang.
Chứng minh độ dài hai cạnh bên bằng nhau: Để DHMN là hình thang cân, ta cần chứng minh hai cạnh bên không song song của nó bằng nhau, tức là MD=HNMD=HN.

Từ phần a), BMND là hình bình hành, nên BM=NDBM=ND và MN=BDMN=BD.
M là trung điểm của AB, nên AM=BM=12ABAM=BM=21​AB.
D là trung điểm của BC (vì BD=12BCBD=21​BC như đã chứng minh ở phần a), nên BD=DC=12BCBD=DC=21​BC).
Do đó, ND=BM=12ABND=BM=21​AB và MN=BD=12BCMN=BD=21​BC.
Từ phần b), ta có MH=AM=12ABMH=AM=21​AB.
Vậy ta có ND=MH=12ABND=MH=21​AB.
Bây giờ, ta cần chứng minh MD=HNMD=HN.

Hãy xem xét tam giác BDM. Ta có BM, BD và góc ABC. Tuy nhiên, M không thuộc BC nên không thể áp dụng định lý Cosin trực tiếp trong tam giác BDM để tìm MD.

Ta có thể sử dụng tính chất của hình bình hành BMND. Độ dài đường chéo MD có thể được tính nếu ta biết thêm thông tin. Có một định lý về hình bình hành: Tổng bình phương độ dài hai đường chéo bằng tổng bình phương độ dài bốn cạnh. Trong hình bình hành BMND: MD2+BN2=2(BM2+BD2)MD2+BN2=2(BM2+BD2). MD2+BN2=2((12AB)2+(12BC)2)MD2+BN2=2((21​AB)2+(21​BC)2) MD2+BN2=2(AB24+BC24)=AB2+BC22MD2+BN2=2(4AB2​+4BC2​)=2AB2+BC2​

Xét tam giác AHC vuông tại H. N là trung điểm AC. HN là đường trung tuyến của tam giác AHC. Trong tam giác AHC vuông, HN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC. Vậy HN=12ACHN=21​AC.

Để chứng minh MD=HNMD=HN, ta cần chứng minh MD=12ACMD=21​AC. Điều này có nghĩa là MD2=14AC2MD2=41​AC2. Thay vào công thức trên: AB2+BC22−BN2=14AC22AB2+BC2​−BN2=41​AC2. Điều này có vẻ phức tạp.

Hãy thử xem xét tính đối xứng hoặc các góc. Ta có MH=AM=ND=BM=12ABMH=AM=ND=BM=21​AB. MN=BD=DC=12BCMN=BD=DC=21​BC.

Xét △MBD△MBD. BM=12ABBM=21​AB, BD=12BCBD=21​BC. Góc ∠MBD=∠ABC∠MBD=∠ABC. Xét △NDH△NDH. Ta có ND=12ABND=21​AB. DH=DC−HC=12BC−HCDH=DC−HC=21​BC−HC.

Quay lại phần b): △AMH△AMH cân tại M. AM=MHAM=MH. Do BMND là hình bình hành, BM=NDBM=ND và MN=BDMN=BD. Ta có AM=BMAM=BM, suy ra AM=BM=ND=MH=12ABAM=BM=ND=MH=21​AB.

Xét tam giác ABC. N là trung điểm AC. HN là đường trung tuyến của tam giác AHC (vuông tại H). HN=12ACHN=21​AC.

Để chứng minh MD=HNMD=HN, ta cần chứng minh MD=12ACMD=21​AC.

Ta có thể sử dụng kết quả từ một định lý nổi tiếng trong hình học: "Đường nối trung điểm hai cạnh đối diện của một tứ giác là đường trung bình". Trong tứ giác MNPQ ban đầu (nếu coi MNPQ là một tứ giác), các điểm R, S, T, V là trung điểm các cạnh. RSTV là hình bình hành. Tuy nhiên, đây là bài toán cho tam giác ABC.

Hãy xem xét tam giác BHC vuông tại H. BD=12BCBD=21​BC. D là trung điểm BC. H là chân đường cao. Nếu tam giác ABC cân tại A thì H là trung điểm BC, khi đó D=H. Nhưng ABC không nhất thiết cân.

Xem xét lại △AMH△AMH cân tại M (AM=MH)(AM=MH). Trong hình thang DHMN, MN || DH. Ta cần chứng minh MD=HNMD=HN.

Có một tính chất quan trọng: Trong tam giác ABC, M là trung điểm AB, N là trung điểm AC. MN là đường trung bình. MN || BC. D là trung điểm BC (BD=MN)(BD=MN). BMND là hình bình hành (BM=ND,MN=BD)(BM=ND,MN=BD). AM=BM=ND=MH=12ABAM=BM=ND=MH=21​AB. HN=12ACHN=21​AC (HN là trung tuyến của tam giác AHC vuông tại H).

Để chứng minh DHMN là hình thang cân, ta cần MD=HNMD=HN. MD=12ACMD=21​AC.

Xét trường hợp đặc biệt: tam giác ABC vuông tại A. Khi đó ∠BAC=90∘∠BAC=90∘. Nhưng đề bài cho tam giác nhọn. Nếu AB=ACAB=AC, thì tam giác ABC cân. Khi đó ∠ABC=∠ACB∠ABC=∠ACB. AH sẽ là đường cao đồng thời là trung tuyến và phân giác. H sẽ là trung điểm BC. Do đó D=HD=H. Lúc này DHMN trở thành DMNM, không là tứ giác. Bài toán có vẻ không cho phép trường hợp này.

Ta quay lại với MD=12ACMD=21​AC. Có một tính chất liên quan đến đường trung tuyến: Nếu trong tam giác ABC, M là trung điểm AB, D là trung điểm BC, thì MDMD là đường trung bình của tam giác ABC nối trung điểm hai cạnh, song song và bằng một nửa cạnh AC. Điều này đúng nếu D cũng là trung điểm BC. Đúng vậy, BD=MN=12BCBD=MN=21​BC, nên D là trung điểm BC. Vậy MDMD là đường trung bình của tam giác ABC nối trung điểm AB (M) và trung điểm BC (D). Do đó, MD∥ACMD∥AC và MD=12ACMD=21​AC.

Bây giờ ta đã có:

Tứ giác DHMN là hình thang với MN || DH.
Cạnh bên HN=12ACHN=21​AC (HN là trung tuyến tam giác vuông AHC).
Cạnh bên MD=12ACMD=21​AC (MD là đường trung bình tam giác ABC).
Vì MD=12ACMD=21​AC và HN=12ACHN=21​AC, nên MD=HNMD=HN. Tứ giác DHMN có hai cạnh bên không song song bằng nhau, nên DHMN là hình thang cân.

Kiểm tra lại: a) BMND là hình bình hành: MN || BC, MN=12BCMN=21​BC. BD=MNBD=MN. Nên MN∥BDMN∥BD và MN=BDMN=BD. Đúng. Suy ra BM=NDBM=ND và MN=BDMN=BD. b) Tam giác AMH cân: Trong △AHB△AHB vuông tại H, M là trung điểm AB. MH=12ABMH=21​AB. AM=12ABAM=21​AB. Vậy AM=MHAM=MH. Đúng. c) DHMN là hình thang cân: * MN || DH (vì MN || BC). * MDMD là đường trung bình của △ABC△ABC vì M là trung điểm AB và D là trung điểm BC. Vậy MD=12ACMD=21​AC. * HNHN là trung tuyến của △AHC△AHC vuông tại H. Vậy HN=12ACHN=21​AC. * Suy ra MD=HNMD=HN. * Do đó, DHMN là hình thang cân. Đúng.

Điều kiện AB<BCAB<BC và tam giác nhọn chỉ để đảm bảo các điểm nằm đúng vị trí (ví dụ H nằm giữa B và C, D nằm giữa B và C, N nằm giữa A và C).

Trình bày lời giải:

a) Chứng minh tứ giác BMND là hình bình hành.

Vì M là trung điểm của AB và MN song song với BC, theo định lý đường trung bình của tam giác, N là trung điểm của AC và MN=12BCMN=21​BC.
Theo giả thiết, D thuộc BC và BD=MNBD=MN.
Từ MN=12BCMN=21​BC và BD=MNBD=MN, ta suy ra BD=12BCBD=21​BC, nghĩa là D là trung điểm của BC.
Ta có MN∥BCMN∥BC, suy ra MN∥BDMN∥BD.
Tứ giác BMND có cặp cạnh đối MN và BD song song (MN∥BD)(MN∥BD) và bằng nhau (MN=BD)(MN=BD). Do đó, BMND là hình bình hành.
b) Chứng minh tam giác AMH cân.

Xét tam giác AHB, ta có ∠AHB=90∘∠AHB=90∘ (vì AH là đường cao). AB là cạnh huyền của tam giác vuông này.
M là trung điểm của AB theo giả thiết, do đó MH là đường trung tuyến của tam giác vuông AHB kẻ từ đỉnh H đến cạnh huyền AB.
Theo tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông, đường trung tuyến bằng một nửa cạnh huyền: MH=12ABMH=21​AB.
Vì M là trung điểm của AB, ta có AM=12ABAM=21​AB.
Từ AM=12ABAM=21​AB và MH=12ABMH=21​AB, ta suy ra AM=MHAM=MH.
Tam giác AMH có hai cạnh bằng nhau nên là tam giác cân.
c) Chứng minh tứ giác DHMN là hình thang cân.

Chứng minh DHMN là hình thang:

Từ phần a), ta có MN∥BDMN∥BD. Vì D thuộc BC, nên MN∥DHMN∥DH.
Tứ giác DHMN có cặp cạnh đối MN và DH song song, do đó DHMN là hình thang.
Chứng minh hai cạnh bên bằng nhau:

Xét tam giác ABC, M là trung điểm AB, D là trung điểm BC (chứng minh ở phần a). Do đó, MD là đường trung bình của tam giác ABC.
Suy ra MD∥ACMD∥AC và MD=12ACMD=21​AC.
Xét tam giác AHC vuông tại H. N là trung điểm AC theo chứng minh ở phần a. HN là đường trung tuyến của tam giác vuông AHC kẻ từ đỉnh H đến cạnh huyền AC.
Theo tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông, HN=12ACHN=21​AC.
Từ MD=12ACMD=21​AC và HN=12ACHN=21​AC, ta suy ra MD=HNMD=HN.
Kết luận: Tứ giác DHMN là hình thang có hai cạnh bên không song song bằng nhau (MD = HN), do đó DHMN là hình thang cân.

Chào bạn, chúng ta cùng nhau giải bài toán hình học này nhé.

Tóm tắt đề bài: Cho tam giác nhọn ABC có AB<BCAB<BC.

M là trung điểm của AB.
Đường thẳng qua M song song với BC cắt AC tại N.
D thuộc BC sao cho BD=MNBD=MN.
AH là đường cao của tam giác ABC (H thuộc BC).
Yêu cầu: Chứng minh: a) Tứ giác BMND là hình bình hành. b) Tam giác AMH cân. c) Tứ giác DHMN là hình thang cân.

a) Chứng minh tứ giác BMND là hình bình hành.

MN song song với BC: Theo đề bài, đường thẳng MN song song với BC. Vì D nằm trên BC, nên MN∥BDMN∥BD.
Độ dài MN: Vì M là trung điểm của AB và MN song song với BC, theo định lý đường trung bình của tam giác, N phải là trung điểm của AC và độ dài đoạn MN bằng một nửa độ dài cạnh BC. Do đó, MN=12BCMN=21​BC.
Độ dài BD: Theo đề bài, ta có BD=MNBD=MN. Kết hợp với MN=12BCMN=21​BC, ta suy ra BD=12BCBD=21​BC. Điều này có nghĩa là D là trung điểm của BC.
Kết luận: Tứ giác BMND có cặp cạnh đối MN và BD song song (vì MN∥BCMN∥BC) và bằng nhau (vì MN=BDMN=BD). Một tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau thì đó là hình bình hành. Vậy, tứ giác BMND là hình bình hành.

b) Chứng minh tam giác AMH cân.

AM là trung tuyến của tam giác vuông AHB: Xét tam giác AHB, ta có ∠AHB=90∘∠AHB=90∘ (vì AH là đường cao). AB là cạnh huyền của tam giác vuông này. M là trung điểm của AB theo đề bài. Do đó, AM là một nửa cạnh huyền AB, AM=12ABAM=21​AB.
Tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông: Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền. Đoạn thẳng MH nối trung điểm M của cạnh huyền AB với đỉnh góc vuông H chính là đường trung tuyến này (vì M là trung điểm AB, và xét tam giác AHB vuông tại H, MH là đường nối trung điểm cạnh huyền AB với đỉnh đối diện là H). Tuy nhiên, MH không hẳn là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AB vì H không phải là đỉnh góc vuông của tam giác ABC. Mà MH là đường trung tuyến của tam giác ABH, nối trung điểm M của cạnh huyền AB với đỉnh H. Đúng hơn, xét tam giác AHB vuông tại H. M là trung điểm của cạnh huyền AB. Theo tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông, đường trung tuyến kẻ từ đỉnh góc vuông tới cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền. Trong tam giác AHB vuông tại H, M là trung điểm của AB. Vậy MH là đường trung tuyến của tam giác AHB kẻ từ H đến cạnh AB. Do đó, MH=12ABMH=21​AB.
So sánh độ dài các cạnh: Ta có AM=12ABAM=21​AB (do M là trung điểm AB) và MH=12ABMH=21​AB (do MH là trung tuyến ứng với cạnh huyền AB trong tam giác vuông AHB). Suy ra AM=MHAM=MH.
Kết luận: Tam giác AMH có hai cạnh bằng nhau (AM = MH), nên là tam giác cân.

c) Chứng minh tứ giác DHMN là hình thang cân.

Xác định cặp cạnh song song:

Từ phần a), ta biết BMND là hình bình hành, do đó MN∥BDMN∥BD.
Vì D nằm trên BC, nên MN∥DHMN∥DH.
Như vậy, tứ giác DHMN có cặp cạnh đối MN và DH song song, nên DHMN là hình thang.
Chứng minh độ dài hai cạnh bên bằng nhau: Để DHMN là hình thang cân, ta cần chứng minh hai cạnh bên không song song của nó bằng nhau, tức là MD=HNMD=HN.

Từ phần a), BMND là hình bình hành, nên BM=NDBM=ND và MN=BDMN=BD.
M là trung điểm của AB, nên AM=BM=12ABAM=BM=21​AB.
D là trung điểm của BC (vì BD=12BCBD=21​BC như đã chứng minh ở phần a), nên BD=DC=12BCBD=DC=21​BC).
Do đó, ND=BM=12ABND=BM=21​AB và MN=BD=12BCMN=BD=21​BC.
Từ phần b), ta có MH=AM=12ABMH=AM=21​AB.
Vậy ta có ND=MH=12ABND=MH=21​AB.
Bây giờ, ta cần chứng minh MD=HNMD=HN.

Hãy xem xét tam giác BDM. Ta có BM, BD và góc ABC. Tuy nhiên, M không thuộc BC nên không thể áp dụng định lý Cosin trực tiếp trong tam giác BDM để tìm MD.

Ta có thể sử dụng tính chất của hình bình hành BMND. Độ dài đường chéo MD có thể được tính nếu ta biết thêm thông tin. Có một định lý về hình bình hành: Tổng bình phương độ dài hai đường chéo bằng tổng bình phương độ dài bốn cạnh. Trong hình bình hành BMND: MD2+BN2=2(BM2+BD2)MD2+BN2=2(BM2+BD2). MD2+BN2=2((12AB)2+(12BC)2)MD2+BN2=2((21​AB)2+(21​BC)2) MD2+BN2=2(AB24+BC24)=AB2+BC22MD2+BN2=2(4AB2​+4BC2​)=2AB2+BC2​

Xét tam giác AHC vuông tại H. N là trung điểm AC. HN là đường trung tuyến của tam giác AHC. Trong tam giác AHC vuông, HN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC. Vậy HN=12ACHN=21​AC.

Để chứng minh MD=HNMD=HN, ta cần chứng minh MD=12ACMD=21​AC. Điều này có nghĩa là MD2=14AC2MD2=41​AC2. Thay vào công thức trên: AB2+BC22−BN2=14AC22AB2+BC2​−BN2=41​AC2. Điều này có vẻ phức tạp.

Hãy thử xem xét tính đối xứng hoặc các góc. Ta có MH=AM=ND=BM=12ABMH=AM=ND=BM=21​AB. MN=BD=DC=12BCMN=BD=DC=21​BC.

Xét △MBD△MBD. BM=12ABBM=21​AB, BD=12BCBD=21​BC. Góc ∠MBD=∠ABC∠MBD=∠ABC. Xét △NDH△NDH. Ta có ND=12ABND=21​AB. DH=DC−HC=12BC−HCDH=DC−HC=21​BC−HC.

Quay lại phần b): △AMH△AMH cân tại M. AM=MHAM=MH. Do BMND là hình bình hành, BM=NDBM=ND và MN=BDMN=BD. Ta có AM=BMAM=BM, suy ra AM=BM=ND=MH=12ABAM=BM=ND=MH=21​AB.

Xét tam giác ABC. N là trung điểm AC. HN là đường trung tuyến của tam giác AHC (vuông tại H). HN=12ACHN=21​AC.

Để chứng minh MD=HNMD=HN, ta cần chứng minh MD=12ACMD=21​AC.

Ta có thể sử dụng kết quả từ một định lý nổi tiếng trong hình học: "Đường nối trung điểm hai cạnh đối diện của một tứ giác là đường trung bình". Trong tứ giác MNPQ ban đầu (nếu coi MNPQ là một tứ giác), các điểm R, S, T, V là trung điểm các cạnh. RSTV là hình bình hành. Tuy nhiên, đây là bài toán cho tam giác ABC.

Hãy xem xét tam giác BHC vuông tại H. BD=12BCBD=21​BC. D là trung điểm BC. H là chân đường cao. Nếu tam giác ABC cân tại A thì H là trung điểm BC, khi đó D=H. Nhưng ABC không nhất thiết cân.

Xem xét lại △AMH△AMH cân tại M (AM=MH)(AM=MH). Trong hình thang DHMN, MN || DH. Ta cần chứng minh MD=HNMD=HN.

Có một tính chất quan trọng: Trong tam giác ABC, M là trung điểm AB, N là trung điểm AC. MN là đường trung bình. MN || BC. D là trung điểm BC (BD=MN)(BD=MN). BMND là hình bình hành (BM=ND,MN=BD)(BM=ND,MN=BD). AM=BM=ND=MH=12ABAM=BM=ND=MH=21​AB. HN=12ACHN=21​AC (HN là trung tuyến của tam giác AHC vuông tại H).

Để chứng minh DHMN là hình thang cân, ta cần MD=HNMD=HN. MD=12ACMD=21​AC.

Xét trường hợp đặc biệt: tam giác ABC vuông tại A. Khi đó ∠BAC=90∘∠BAC=90∘. Nhưng đề bài cho tam giác nhọn. Nếu AB=ACAB=AC, thì tam giác ABC cân. Khi đó ∠ABC=∠ACB∠ABC=∠ACB. AH sẽ là đường cao đồng thời là trung tuyến và phân giác. H sẽ là trung điểm BC. Do đó D=HD=H. Lúc này DHMN trở thành DMNM, không là tứ giác. Bài toán có vẻ không cho phép trường hợp này.

Ta quay lại với MD=12ACMD=21​AC. Có một tính chất liên quan đến đường trung tuyến: Nếu trong tam giác ABC, M là trung điểm AB, D là trung điểm BC, thì MDMD là đường trung bình của tam giác ABC nối trung điểm hai cạnh, song song và bằng một nửa cạnh AC. Điều này đúng nếu D cũng là trung điểm BC. Đúng vậy, BD=MN=12BCBD=MN=21​BC, nên D là trung điểm BC. Vậy MDMD là đường trung bình của tam giác ABC nối trung điểm AB (M) và trung điểm BC (D). Do đó, MD∥ACMD∥AC và MD=12ACMD=21​AC.

Bây giờ ta đã có:

Tứ giác DHMN là hình thang với MN || DH.
Cạnh bên HN=12ACHN=21​AC (HN là trung tuyến tam giác vuông AHC).
Cạnh bên MD=12ACMD=21​AC (MD là đường trung bình tam giác ABC).
Vì MD=12ACMD=21​AC và HN=12ACHN=21​AC, nên MD=HNMD=HN. Tứ giác DHMN có hai cạnh bên không song song bằng nhau, nên DHMN là hình thang cân.

Kiểm tra lại: a) BMND là hình bình hành: MN || BC, MN=12BCMN=21​BC. BD=MNBD=MN. Nên MN∥BDMN∥BD và MN=BDMN=BD. Đúng. Suy ra BM=NDBM=ND và MN=BDMN=BD. b) Tam giác AMH cân: Trong △AHB△AHB vuông tại H, M là trung điểm AB. MH=12ABMH=21​AB. AM=12ABAM=21​AB. Vậy AM=MHAM=MH. Đúng. c) DHMN là hình thang cân: * MN || DH (vì MN || BC). * MDMD là đường trung bình của △ABC△ABC vì M là trung điểm AB và D là trung điểm BC. Vậy MD=12ACMD=21​AC. * HNHN là trung tuyến của △AHC△AHC vuông tại H. Vậy HN=12ACHN=21​AC. * Suy ra MD=HNMD=HN. * Do đó, DHMN là hình thang cân. Đúng.

Điều kiện AB<BCAB<BC và tam giác nhọn chỉ để đảm bảo các điểm nằm đúng vị trí (ví dụ H nằm giữa B và C, D nằm giữa B và C, N nằm giữa A và C).

Trình bày lời giải:

a) Chứng minh tứ giác BMND là hình bình hành.

Vì M là trung điểm của AB và MN song song với BC, theo định lý đường trung bình của tam giác, N là trung điểm của AC và MN=12BCMN=21​BC.
Theo giả thiết, D thuộc BC và BD=MNBD=MN.
Từ MN=12BCMN=21​BC và BD=MNBD=MN, ta suy ra BD=12BCBD=21​BC, nghĩa là D là trung điểm của BC.
Ta có MN∥BCMN∥BC, suy ra MN∥BDMN∥BD.
Tứ giác BMND có cặp cạnh đối MN và BD song song (MN∥BD)(MN∥BD) và bằng nhau (MN=BD)(MN=BD). Do đó, BMND là hình bình hành.
b) Chứng minh tam giác AMH cân.

Xét tam giác AHB, ta có ∠AHB=90∘∠AHB=90∘ (vì AH là đường cao). AB là cạnh huyền của tam giác vuông này.
M là trung điểm của AB theo giả thiết, do đó MH là đường trung tuyến của tam giác vuông AHB kẻ từ đỉnh H đến cạnh huyền AB.
Theo tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông, đường trung tuyến bằng một nửa cạnh huyền: MH=12ABMH=21​AB.
Vì M là trung điểm của AB, ta có AM=12ABAM=21​AB.
Từ AM=12ABAM=21​AB và MH=12ABMH=21​AB, ta suy ra AM=MHAM=MH.
Tam giác AMH có hai cạnh bằng nhau nên là tam giác cân.
c) Chứng minh tứ giác DHMN là hình thang cân.

Chứng minh DHMN là hình thang:

Từ phần a), ta có MN∥BDMN∥BD. Vì D thuộc BC, nên MN∥DHMN∥DH.
Tứ giác DHMN có cặp cạnh đối MN và DH song song, do đó DHMN là hình thang.
Chứng minh hai cạnh bên bằng nhau:

Xét tam giác ABC, M là trung điểm AB, D là trung điểm BC (chứng minh ở phần a). Do đó, MD là đường trung bình của tam giác ABC.
Suy ra MD∥ACMD∥AC và MD=12ACMD=21​AC.
Xét tam giác AHC vuông tại H. N là trung điểm AC theo chứng minh ở phần a. HN là đường trung tuyến của tam giác vuông AHC kẻ từ đỉnh H đến cạnh huyền AC.
Theo tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông, HN=12ACHN=21​AC.
Từ MD=12ACMD=21​AC và HN=12ACHN=21​AC, ta suy ra MD=HNMD=HN.
Kết luận: Tứ giác DHMN là hình thang có hai cạnh bên không song song bằng nhau (MD = HN), do đó DHMN là hình thang cân.