a) Chứng minh rằng A,H,Ocap A comma cap H comma cap O
𝐴,𝐻,𝑂
thẳng hàng.
Được biết Hcap H
𝐻
là trực tâm của tam giác ABCcap A cap B cap C
𝐴𝐵𝐶
.
 
Được biết Ocap O
𝑂
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCcap A cap B cap C
𝐴𝐵𝐶
.
 
Đường thẳng đi qua trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của một tam giác được gọi là đường thẳng Euler.
 
Đường thẳng Euler luôn đi qua trọng tâm của tam giác.
 
Trong trường hợp tam giác ABCcap A cap B cap C
𝐴𝐵𝐶
không cân tại Acap A
𝐴
, đường thẳng Euler là duy nhất.
 
Điểm Acap A
𝐴
là một đỉnh của tam giác.
 
Để chứng minh A,H,Ocap A comma cap H comma cap O
𝐴,𝐻,𝑂
thẳng hàng, cần chứng minh Acap A
𝐴
nằm trên đường thẳng Euler.
 
Tuy nhiên, Acap A
𝐴
không nhất thiết phải nằm trên đường thẳng Euler.
 
Do đó, khẳng định A,H,Ocap A comma cap H comma cap O
𝐴,𝐻,𝑂
thẳng hàng là không đúng trong trường hợp tổng quát.
 
Khẳng định này chỉ đúng khi tam giác ABCcap A cap B cap C
𝐴𝐵𝐶
cân tại Acap A
𝐴
, khi đó đường cao ADcap A cap D
𝐴𝐷
cũng là đường trung tuyến và đường phân giác, đồng thời đi qua Ocap O
𝑂
và Hcap H
𝐻
.
 
b) Gọi Mcap M
𝑀
là trung điểm của BCcap B cap C
𝐵𝐶
. Chứng minh ∠BAH=∠CAOangle cap B cap A cap H equals angle cap C cap A cap O
∠𝐵𝐴𝐻=∠𝐶𝐴𝑂
.
Kẻ đường kính ADcap A cap D
𝐴𝐷
của đường tròn (O)open paren cap O close paren
(𝑂)
.
 
Được biết ADcap A cap D
𝐴𝐷
là đường kính, suy ra ∠ABD=90∘angle cap A cap B cap D equals 90 raised to the exponent composed with end-exponent
∠𝐴𝐵𝐷=90∘
và ∠ACD=90∘angle cap A cap C cap D equals 90 raised to the exponent composed with end-exponent
∠𝐴𝐶𝐷=90∘
.
 
Được biết CF⟂ABcap C cap F ⟂ cap A cap B
𝐶𝐹⟂𝐴𝐵
và BE⟂ACcap B cap E ⟂ cap A cap C
𝐵𝐸⟂𝐴𝐶
.
 
Do CF⟂ABcap C cap F ⟂ cap A cap B
𝐶𝐹⟂𝐴𝐵
và BD⟂ABcap B cap D ⟂ cap A cap B
𝐵𝐷⟂𝐴𝐵
, suy ra CF∥BDcap C cap F is parallel to cap B cap D
𝐶𝐹∥𝐵𝐷
.
 
Do BE⟂ACcap B cap E ⟂ cap A cap C
𝐵𝐸⟂𝐴𝐶
và CD⟂ACcap C cap D ⟂ cap A cap C
𝐶𝐷⟂𝐴𝐶
, suy ra BE∥CDcap B cap E is parallel to cap C cap D
𝐵𝐸∥𝐶𝐷
.
 
Tứ giác BHCDcap B cap H cap C cap D
𝐵𝐻𝐶𝐷
có các cặp cạnh đối song song ( BH∥CDcap B cap H is parallel to cap C cap D
𝐵𝐻∥𝐶𝐷
và CH∥BDcap C cap H is parallel to cap B cap D
𝐶𝐻∥𝐵𝐷
), suy ra BHCDcap B cap H cap C cap D
𝐵𝐻𝐶𝐷
là hình bình hành.
 
Trong hình bình hành BHCDcap B cap H cap C cap D
𝐵𝐻𝐶𝐷
, Mcap M
𝑀
là trung điểm của BCcap B cap C
𝐵𝐶
, suy ra Mcap M
𝑀
cũng là trung điểm của HDcap H cap D
𝐻𝐷
.
 
Xét tam giác ABHcap A cap B cap H
𝐴𝐵𝐻
và tam giác ADCcap A cap D cap C
𝐴𝐷𝐶
.
 
Có ∠BAH=∠CADangle cap B cap A cap H equals angle cap C cap A cap D
∠𝐵𝐴𝐻=∠𝐶𝐴𝐷
(cùng phụ với ∠ABCangle cap A cap B cap C
∠𝐴𝐵𝐶
).
 
Có ∠CAO=∠CADangle cap C cap A cap O equals angle cap C cap A cap D
∠𝐶𝐴𝑂=∠𝐶𝐴𝐷
(do ADcap A cap D
𝐴𝐷
là đường kính và Ocap O
𝑂
là tâm).
 
Do đó, ∠BAH=∠CAOangle cap B cap A cap H equals angle cap C cap A cap O
∠𝐵𝐴𝐻=∠𝐶𝐴𝑂
.
 
 
c) Chứng minh AH=2OMcap A cap H equals 2 cap O cap M
𝐴𝐻=2𝑂𝑀
.
Được biết Mcap M
𝑀
là trung điểm của HDcap H cap D
𝐻𝐷
và Ocap O
𝑂
là trung điểm của ADcap A cap D
𝐴𝐷
.
 
Trong tam giác AHDcap A cap H cap D
𝐴𝐻𝐷
, OMcap O cap M
𝑂𝑀
là đường trung bình.
 
Theo tính chất đường trung bình của tam giác, OM=12AHcap O cap M equals 1 over 2 end-fraction cap A cap H
𝑂𝑀=12𝐴𝐻
.
 
Suy ra AH=2OMcap A cap H equals 2 cap O cap M
𝐴𝐻=2𝑂𝑀
.
 
 
Kết luận
a) Khẳng định A,H,Ocap A comma cap H comma cap O
𝐴,𝐻,𝑂
thẳng hàng là không đúng trong trường hợp tổng quát, chỉ đúng khi tam giác ABCcap A cap B cap C
𝐴𝐵𝐶
cân tại Acap A
𝐴
.
b) ∠BAH=∠CAOangle cap B cap A cap H equals angle cap C cap A cap O
∠𝐵𝐴𝐻=∠𝐶𝐴𝑂
được chứng minh bằng cách sử dụng tính chất của hình bình hành BHCDcap B cap H cap C cap D
𝐵𝐻𝐶𝐷
và các góc phụ.
c) AH=2OMcap A cap H equals 2 cap O cap M
𝐴𝐻=2𝑂𝑀
được chứng minh bằng cách sử dụng tính chất đường trung bình trong tam giác AHDcap A cap H cap D
𝐴𝐻𝐷
.