Để chứng minh tam giác COD vuông, ta sẽ sử dụng phương pháp tọa độ.
Đề bài yêu cầu: Cho tam giác MAB vuông tại M, gọi O là trung điểm của AB. Kẻ các tia Ax, By cùng vuông góc với AB và cùng phía với điểm M có bờ là AB. Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với MO cắt Ax, By lần lượt tại C và D. Chứng minh tam giác COD vuông.
Giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho O trùng với gốc tọa độ (0,0)(0,0). Vì O là trung điểm của AB và AB nằm trên một đường thẳng, ta có thể đặt A và B đối xứng qua gốc tọa độ. Gọi A=(−a,0)A=(−a,0) và B=(a,0)B=(a,0) với a>0a>0. Khi đó, độ dài đoạn AB là 2a2a.
Vì tia Ax vuông góc với AB và cùng phía với M, tia Ax nằm trên đường thẳng có phương trình x=−ax=−a. Điểm C nằm trên tia Ax nên tọa độ của C có dạng C=(−a,yC)C=(−a,yC​) với yC≥0yC​≥0 (do C cùng phía với M).
Tương tự, tia By vuông góc với AB và cùng phía với M, tia By nằm trên đường thẳng có phương trình x=ax=a. Điểm D nằm trên tia By nên tọa độ của D có dạng D=(a,yD)D=(a,yD​) với yD≥0yD​≥0.
Do tam giác MAB vuông tại M, theo tính chất đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông, M thuộc đường tròn có đường kính là AB. Tâm của đường tròn này là O và bán kính là R=AB2=aR=2AB​=a. Vậy, tọa độ M (xM,yM)(xM​,yM​) thỏa mãn phương trình đường tròn xM2+yM2=a2xM2​+yM2​=a2. Vì M cùng phía với C và D so với AB, ta giả sử yM>0yM​>0.
Đường thẳng MO nối gốc tọa độ O (0,0)(0,0) với điểm M (xM,yM)(xM​,yM​). Vector chỉ phương của MO là OM⃗=(xM,yM)OM=(xM​,yM​). Đường thẳng đi qua M (xM,yM)(xM​,yM​) và vuông góc với MO sẽ có vector pháp tuyến là OM⃗=(xM,yM)OM=(xM​,yM​). Phương trình của đường thẳng này là: xM(x−xM)+yM(y−yM)=0xM​(x−xM​)+yM​(y−yM​)=0 xMx−xM2+yMy−yM2=0xM​x−xM2​+yM​y−yM2​=0 xMx+yMy=xM2+yM2xM​x+yM​y=xM2​+yM2​
Do xM2+yM2=a2xM2​+yM2​=a2, phương trình đường thẳng qua M vuông góc với MO là: xMx+yMy=a2xM​x+yM​y=a2
Điểm C là giao điểm của đường thẳng này với đường thẳng x=−ax=−a. Thay x=−ax=−a vào phương trình đường thẳng: xM(−a)+yMyC=a2xM​(−a)+yM​yC​=a2 −axM+yMyC=a2−axM​+yM​yC​=a2 yMyC=a2+axMyM​yC​=a2+axM​ Vì yM>0yM​>0, ta có yC=a2+axMyMyC​=yM​a2+axM​​. Vậy, tọa độ điểm C là (−a,a2+axMyM)(−a,yM​a2+axM​​).
Điểm D là giao điểm của đường thẳng này với đường thẳng x=ax=a. Thay x=ax=a vào phương trình đường thẳng: xM(a)+yMyD=a2xM​(a)+yM​yD​=a2 axM+yMyD=a2axM​+yM​yD​=a2 yMyD=a2−axMyM​yD​=a2−axM​ Vì yM>0yM​>0, ta có yD=a2−axMyMyD​=yM​a2−axM​​. Vậy, tọa độ điểm D là (a,a2−axMyM)(a,yM​a2−axM​​).
Bây giờ, ta cần chứng minh tam giác COD vuông. Điều này tương đương với việc chứng minh hai vector OC⃗OC và OD⃗OD vuông góc với nhau, tức là tích vô hướng của chúng bằng 0. Vector OC⃗=C−O=(−a,a2+axMyM)OC=C−O=(−a,yM​a2+axM​​) Vector OD⃗=D−O=(a,a2−axMyM)OD=D−O=(a,yM​a2−axM​​)
Tính tích vô hướng OC⃗⋅OD⃗OC⋅OD:OC⃗⋅OD⃗=(−a)(a)+(a2+axMyM)(a2−axMyM)OC⋅OD=(−a)(a)+(yM​a2+axM​​)(yM​a2−axM​​)OC⃗⋅OD⃗=−a2+(a2+axM)(a2−axM)yM2OC⋅OD=−a2+yM2​(a2+axM​)(a2−axM​)​Sử dụng hằng đẳng thức (X+Y)(X−Y)=X2−Y2(X+Y)(X−Y)=X2−Y2:OC⃗⋅OD⃗=−a2+(a2)2−(axM)2yM2OC⋅OD=−a2+yM2​(a2)2−(axM​)2​OC⃗⋅OD⃗=−a2+a4−a2xM2yM2OC⋅OD=−a2+yM2​a4−a2xM2​​OC⃗⋅OD⃗=−a2+a2(a2−xM2)yM2OC⋅OD=−a2+yM2​a2(a2−xM2​)​Vì xM2+yM2=a2xM2​+yM2​=a2, ta có yM2=a2−xM2yM2​=a2−xM2​. Thay vào biểu thức trên:OC⃗⋅OD⃗=−a2+a2(yM2)yM2OC⋅OD=−a2+yM2​a2(yM2​)​Do yM>0yM​>0, nên yM2>0yM2​>0. Ta có thể rút gọn yM2yM2yM2​yM2​​:OC⃗⋅OD⃗=−a2+a2OC⋅OD=−a2+a2OC⃗⋅OD⃗=0OC⋅OD=0Vì tích vô hướng của hai vector OC⃗OC và OD⃗OD bằng 0, nên hai vector này vuông góc với nhau. Do đó, góc ∠COD=90∘∠COD=90∘. Vậy, tam giác COD vuông tại O.