a) Chứng minh rằng M là trung điểm của BC
- Vì AB = AC, tam giác ABC cân tại A nên: $\widehat{ABC}$ = $\widehat{ACB}$
- Gọi AM là phân giác của góc $\widehat{BAC}$, theo tính chất tam giác cân có phân giác từ đỉnh, ta có:
+ AM vừa là phân giác, vừa là đường cao, đường trung tuyến và trung trực của BC
⇒ M là trung điểm của đoạn BC. (đpcm)
b) Chứng minh tam giác △BCD = △CEB
+ Xét hai tam giác △BCD và △CEB có :
BD là phân giác góc $\widehat{ABC}$
CE là phân giác góc $\widehat{ACB}$
$\widehat{ABC}$ = $\widehat{ACB}$ (tam giác ABC cân tại A)
⇒ Các phân giác BD và CE tạo với cạnh đối các góc bằng nhau.
=> △BCD = △CEB (đpcm)
c) Chứng minh OB = OC
+ Do △BCD = △CEB, hai tam giác bằng nhau, nên: OB = OC
+ Vì điểm O là giao điểm của hai phân giác trong BD và CE, nên theo tính chất tâm đường tròn nội tiếp, O cách đều hai cạnh của góc tại B và C.
⇒ OB = OC (đpcm)
d) Kẻ OH ⊥ AC, OK ⊥ AB. Chứng minh: OH = OK
+ Do tam giác ABC cân tại A ⇒ trục đối xứng là đường phân giác A
+ Điểm O là giao điểm của hai phân giác trong BD và CE
⇒ điểm O nằm trên trục đối xứng AM.
+ Khi ta kẻ OH ⊥ AC, OK ⊥ AB, mà AB = AC và O nằm trên phân giác AM
⇒ hai đoạn vuông góc từ O đến hai cạnh sẽ bằng nhau (do đối xứng).
⇒ Tam giác AOK và AOH bằng nhau theo cạnh – góc – cạnh
⇒ OH = OK (hai cạnh tương ứng)(đpcm)

a) Chứng minh M là trung điểm của BC  
Step 1: Xác định tính chất của tam giác ABC  
Vì tam giác ABC có AB = AC, nên tam giác ABC là tam giác cân tại A.  
Step 2: Xác định tính chất của tia phân giác AM  
Vì AM là tia phân giác của góc BAC trong tam giác cân ABC, theo tính chất của tam giác cân, tia phân giác xuất phát từ đỉnh cân cũng đồng thời là đường trung tuyến, đường cao và đường phân giác của góc đó.  
Step 3: Kết luận  
Do AM là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên M là trung điểm  Đáp án: M là trung điểm của BC.  

 
b) Chứng minh tam giác BCD = tam giác CEB  
Step 1: Xác định các yếu tố bằng nhau  
BC là cạnh chung.
Góc ABC = Góc ACB (vì tam giác ABC cân tại A).
Góc EBC = 12
Góc ABC (vì BD là tia phân giác của góc B).
Góc DCB = 12
Góc ACB (vì CE là tia phân giác của góc C).
Suy ra Góc EBC = Góc DCB.  
 
Step 2: Áp dụng trường hợp bằng nhau của tam giác  
Xét tam giác BCD và tam giác CEB có:  
Góc BCD = Góc CBE (đã chứng minh ở trên).
BC là cạnh chung.
Góc CBD = Góc BCE (vì BD và CE là tia phân giác của các góc bằng nhau).
 
Step 3: Kết luận  
Theo trường hợp góc - cạnh - góc (g.c.g), tam giác BCD = tam giác CEB. Đap an: Tam giác BCD = tam giác CEB.  

 
c) Chứng minh OB = OC  
Step 1: Xác định các yếu tố bằng nhau  
Vì tam giác BCD = tam giác CEB (chứng minh ở câu b), suy ra BD = CE (các cạnh tương ứng).
Vì O là giao điểm của các tia phân giác BD và CE, nên O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.  
 
Step 2: Xác định tính chất của tam giác OBC  
Vì tam giác ABC cân tại A, nên các góc ở đáy bằng nhau (Góc ABC = Góc ACB).
Vì BD và CE là các tia phân giác của góc B và góc C, nên Góc OBC = 12
Góc ABC và Góc OCB = 12
Góc ACB.
Do đó, Góc OBC = Góc OCB.  
 
Step 3: Kết luận  
Vì tam giác OBC có Góc OBC = Góc OCB, nên tam giác OBC là tam giác cân tại O.
Suy ra OB = OC.  
 
da OB = OC.  

 
d) Chứng minh OH = OK  
Step 1: Xác định tính chất của điểm O  
Vì O là giao điểm của ba tia phân giác của tam giác ABC, nên O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.  
 
Step 2: Xác định tính chất của khoảng cách từ O đến các cạnh  
Theo tính chất của tâm đường tròn nội tiếp, khoảng cách từ tâm đường tròn nội tiếp đến các cạnh của tam giác là bằng nhau.
OH là khoảng cách từ O đến AC (vì OH ⟂⟂
⟂
AC).
OK là khoảng cách từ O đến AB (vì OK ⟂⟂
⟂
AB).  
 
Step 3: Kết luận  
Do O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, và OH, OK là khoảng cách từ O đến các cạnh AB và AC, nên OH = OK.  
Đáp án OH = OK.