+ Xét hai tam giác △HEM và △HDN có :

Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao BD, CE cắt nhau tại H. Gọi M và N theo thứ tự là hình chiếu của E và D trên BC.  
a) Chứng minh tỉ số khoảng cách từ H đến EM và DN bằng EM/DN:  
Gọi khoảng cách từ H đến EM là x, khoảng cách từ H đến DN là y.
Ta có:  
Tam giác BDC vuông tại D nên BD⟂BCcap B cap D ⟂ cap B cap C
𝐵𝐷⟂𝐵𝐶
.
Tam giác BEC vuông tại E nên CE⟂BCcap C cap E ⟂ cap B cap C
𝐶𝐸⟂𝐵𝐶
.
Xét tứ giác DMEN, ta có: ME⟂BCcap M cap E ⟂ cap B cap C
𝑀𝐸⟂𝐵𝐶
và ND⟂BCcap N cap D ⟂ cap B cap C
𝑁𝐷⟂𝐵𝐶
nên ME//NDcap M cap E / / cap N cap D
𝑀𝐸//𝑁𝐷
.
Vì ME//NDcap M cap E / / cap N cap D
𝑀𝐸//𝑁𝐷
và BD,CEcap B cap D comma cap C cap E
𝐵𝐷,𝐶𝐸
là đường cao nên BD⟂BCcap B cap D ⟂ cap B cap C
𝐵𝐷⟂𝐵𝐶
, CE⟂BCcap C cap E ⟂ cap B cap C
𝐶𝐸⟂𝐵𝐶
. Do đó, tứ giác DMEN là hình thang vuông tại M và N.
Tam giác BEC vuông tại E có EM là đường cao, nên EM2=BM.MCcap E cap M squared equals cap B cap M point cap M cap C
𝐸𝑀2=𝐵𝑀.𝑀𝐶
(hệ thức lượng trong tam giác vuông).
Tam giác BDC vuông tại D có DN là đường cao, nên DN2=BN.NCcap D cap N squared equals cap B cap N point cap N cap C
𝐷𝑁2=𝐵𝑁.𝑁𝐶
(hệ thức lượng trong tam giác vuông).
Ta có BH⟂ACcap B cap H ⟂ cap A cap C
𝐵𝐻⟂𝐴𝐶
và CH⟂ABcap C cap H ⟂ cap A cap B
𝐶𝐻⟂𝐴𝐵
.
Xét tam giác BHC có HM⟂BCcap H cap M ⟂ cap B cap C
𝐻𝑀⟂𝐵𝐶
và HN⟂BCcap H cap N ⟂ cap B cap C
𝐻𝑁⟂𝐵𝐶
, nên HM=xcap H cap M equals x
𝐻𝑀=𝑥
và HN=ycap H cap N equals y
𝐻𝑁=𝑦
.
Xét tam giác BEC vuông tại E có EM là đường cao, nên BM.BC=BE2cap B cap M point cap B cap C equals cap B cap E squared
𝐵𝑀.𝐵𝐶=𝐵𝐸2
và EM2=BM.MCcap E cap M squared equals cap B cap M point cap M cap C
𝐸𝑀2=𝐵𝑀.𝑀𝐶
.
Xét tam giác BDC vuông tại D có DN là đường cao, nên CN.BC=CD2cap C cap N point cap B cap C equals cap C cap D squared
𝐶𝑁.𝐵𝐶=𝐶𝐷2
và DN2=CN.BNcap D cap N squared equals cap C cap N point cap B cap N
𝐷𝑁2=𝐶𝑁.𝐵𝑁
.
Xét tam giác vuông BHD, ta có BH2=BD2+DH2cap B cap H squared equals cap B cap D squared plus cap D cap H squared
𝐵𝐻2=𝐵𝐷2+𝐷𝐻2
và DH2=BN.BCcap D cap H squared equals cap B cap N point cap B cap C
𝐷𝐻2=𝐵𝑁.𝐵𝐶
.
Xét tam giác vuông CHE, ta có CH2=CE2+HE2cap C cap H squared equals cap C cap E squared plus cap H cap E squared
𝐶𝐻2=𝐶𝐸2+𝐻𝐸2
và HE2=CM.CBcap H cap E squared equals cap C cap M point cap C cap B
𝐻𝐸2=𝐶𝑀.𝐶𝐵
.
Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên BH⟂ACcap B cap H ⟂ cap A cap C
𝐵𝐻⟂𝐴𝐶
và CH⟂ABcap C cap H ⟂ cap A cap B
𝐶𝐻⟂𝐴𝐵
.
Ta có xy=HMHN=EMDNx over y end-fraction equals the fraction with numerator cap H cap M and denominator cap H cap N end-fraction equals the fraction with numerator cap E cap M and denominator cap D cap N end-fraction
𝑥𝑦=𝐻𝑀𝐻𝑁=𝐸𝑀𝐷𝑁
.
Vì ME⟂BCcap M cap E ⟂ cap B cap C
𝑀𝐸⟂𝐵𝐶
và ND⟂BCcap N cap D ⟂ cap B cap C
𝑁𝐷⟂𝐵𝐶
nên ME//NDcap M cap E / / cap N cap D
𝑀𝐸//𝑁𝐷
.
Do đó, tam giác HME và tam giác HDN đồng dạng (g-g).
xy=HMHN=HEHDx over y end-fraction equals the fraction with numerator cap H cap M and denominator cap H cap N end-fraction equals the fraction with numerator cap H cap E and denominator cap H cap D end-fraction
𝑥𝑦=𝐻𝑀𝐻𝑁=𝐻𝐸𝐻𝐷
.
Ta có HEHD=CMBDthe fraction with numerator cap H cap E and denominator cap H cap D end-fraction equals the fraction with numerator cap C cap M and denominator cap B cap D end-fraction
𝐻𝐸𝐻𝐷=𝐶𝑀𝐵𝐷
.
Vì EM⟂BCcap E cap M ⟂ cap B cap C
𝐸𝑀⟂𝐵𝐶
và DN⟂BCcap D cap N ⟂ cap B cap C
𝐷𝑁⟂𝐵𝐶
nên EM//DNcap E cap M / / cap D cap N
𝐸𝑀//𝐷𝑁
.
Do đó HMHN=EMDNthe fraction with numerator cap H cap M and denominator cap H cap N end-fraction equals the fraction with numerator cap E cap M and denominator cap D cap N end-fraction
𝐻𝑀𝐻𝑁=𝐸𝑀𝐷𝑁
.
Vậy, xy=EMDNx over y end-fraction equals the fraction with numerator cap E cap M and denominator cap D cap N end-fraction
𝑥𝑦=𝐸𝑀𝐷𝑁
.
 
b) Gọi O là giao điểm của DM và EN. Chứng minh HO vuông góc với BC:  
Gọi I là giao điểm của DM và EN.
Xét tứ giác DMEN, ta có ME⟂BCcap M cap E ⟂ cap B cap C
𝑀𝐸⟂𝐵𝐶
và ND⟂BCcap N cap D ⟂ cap B cap C
𝑁𝐷⟂𝐵𝐶
, suy ra ME//NDcap M cap E / / cap N cap D
𝑀𝐸//𝑁𝐷
.
Do đó tứ giác DMEN là hình thang.
Vì O là giao điểm của DM và EN nên O là giao điểm của hai đường chéo của hình thang DMEN.
Do O là giao điểm của hai đường chéo của hình thang DMEN nên O là trung điểm của MN.
Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, ta có BH⟂ACcap B cap H ⟂ cap A cap C
𝐵𝐻⟂𝐴𝐶
và CH⟂ABcap C cap H ⟂ cap A cap B
𝐶𝐻⟂𝐴𝐵
.
Ta có EM là đường cao của tam giác BEC nên ME⟂BCcap M cap E ⟂ cap B cap C
𝑀𝐸⟂𝐵𝐶
.
Ta có DN là đường cao của tam giác BDC nên DN⟂BCcap D cap N ⟂ cap B cap C
𝐷𝑁⟂𝐵𝐶
.
Vì vậy, ME//NDcap M cap E / / cap N cap D
𝑀𝐸//𝑁𝐷
.
Do đó, tứ giác DMEN là hình thang.
Gọi I là giao điểm của DM và EN. Ta có I là giao điểm của hai đường chéo của hình thang DMEN.
Gọi H là trực tâm tam giác ABC, thì Hcap H
𝐻
thuộc BDcap B cap D
𝐵𝐷
và Hcap H
𝐻
thuộc CEcap C cap E
𝐶𝐸
.
Vì BD⟂ACcap B cap D ⟂ cap A cap C
𝐵𝐷⟂𝐴𝐶
và CE⟂ABcap C cap E ⟂ cap A cap B
𝐶𝐸⟂𝐴𝐵
nên Hcap H
𝐻
là trực tâm của tam giác ABC.
O là giao điểm của DM và EN, ta có O là giao điểm hai đường chéo của hình thang DMEN.

Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao BD, CE cắt nhau tại H. Gọi M và N theo thứ tự là hình chiếu của E và D trên BC.  
a) Chứng minh tỉ số khoảng cách từ H đến EM và DN bằng EM/DN:  
Gọi khoảng cách từ H đến EM là x, khoảng cách từ H đến DN là y.
Ta có:  
Tam giác BDC vuông tại D nên BD⟂BCcap B cap D ⟂ cap B cap C
𝐵𝐷⟂𝐵𝐶
.
Tam giác BEC vuông tại E nên CE⟂BCcap C cap E ⟂ cap B cap C
𝐶𝐸⟂𝐵𝐶
.
Xét tứ giác DMEN, ta có: ME⟂BCcap M cap E ⟂ cap B cap C
𝑀𝐸⟂𝐵𝐶
và ND⟂BCcap N cap D ⟂ cap B cap C
𝑁𝐷⟂𝐵𝐶
nên ME//NDcap M cap E / / cap N cap D
𝑀𝐸//𝑁𝐷
.
Vì ME//NDcap M cap E / / cap N cap D
𝑀𝐸//𝑁𝐷
và BD,CEcap B cap D comma cap C cap E
𝐵𝐷,𝐶𝐸
là đường cao nên BD⟂BCcap B cap D ⟂ cap B cap C
𝐵𝐷⟂𝐵𝐶
, CE⟂BCcap C cap E ⟂ cap B cap C
𝐶𝐸⟂𝐵𝐶
. Do đó, tứ giác DMEN là hình thang vuông tại M và N.
Tam giác BEC vuông tại E có EM là đường cao, nên EM2=BM.MCcap E cap M squared equals cap B cap M point cap M cap C
𝐸𝑀2=𝐵𝑀.𝑀𝐶
(hệ thức lượng trong tam giác vuông).
Tam giác BDC vuông tại D có DN là đường cao, nên DN2=BN.NCcap D cap N squared equals cap B cap N point cap N cap C
𝐷𝑁2=𝐵𝑁.𝑁𝐶
(hệ thức lượng trong tam giác vuông).
Ta có BH⟂ACcap B cap H ⟂ cap A cap C
𝐵𝐻⟂𝐴𝐶
và CH⟂ABcap C cap H ⟂ cap A cap B
𝐶𝐻⟂𝐴𝐵
.
Xét tam giác BHC có HM⟂BCcap H cap M ⟂ cap B cap C
𝐻𝑀⟂𝐵𝐶
và HN⟂BCcap H cap N ⟂ cap B cap C
𝐻𝑁⟂𝐵𝐶
, nên HM=xcap H cap M equals x
𝐻𝑀=𝑥
và HN=ycap H cap N equals y
𝐻𝑁=𝑦
.
Xét tam giác BEC vuông tại E có EM là đường cao, nên BM.BC=BE2cap B cap M point cap B cap C equals cap B cap E squared
𝐵𝑀.𝐵𝐶=𝐵𝐸2
và EM2=BM.MCcap E cap M squared equals cap B cap M point cap M cap C
𝐸𝑀2=𝐵𝑀.𝑀𝐶
.
Xét tam giác BDC vuông tại D có DN là đường cao, nên CN.BC=CD2cap C cap N point cap B cap C equals cap C cap D squared
𝐶𝑁.𝐵𝐶=𝐶𝐷2
và DN2=CN.BNcap D cap N squared equals cap C cap N point cap B cap N
𝐷𝑁2=𝐶𝑁.𝐵𝑁
.
Xét tam giác vuông BHD, ta có BH2=BD2+DH2cap B cap H squared equals cap B cap D squared plus cap D cap H squared
𝐵𝐻2=𝐵𝐷2+𝐷𝐻2
và DH2=BN.BCcap D cap H squared equals cap B cap N point cap B cap C
𝐷𝐻2=𝐵𝑁.𝐵𝐶
.
Xét tam giác vuông CHE, ta có CH2=CE2+HE2cap C cap H squared equals cap C cap E squared plus cap H cap E squared
𝐶𝐻2=𝐶𝐸2+𝐻𝐸2
và HE2=CM.CBcap H cap E squared equals cap C cap M point cap C cap B
𝐻𝐸2=𝐶𝑀.𝐶𝐵
.
Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên BH⟂ACcap B cap H ⟂ cap A cap C
𝐵𝐻⟂𝐴𝐶
và CH⟂ABcap C cap H ⟂ cap A cap B
𝐶𝐻⟂𝐴𝐵
.
Ta có xy=HMHN=EMDNx over y end-fraction equals the fraction with numerator cap H cap M and denominator cap H cap N end-fraction equals the fraction with numerator cap E cap M and denominator cap D cap N end-fraction
𝑥𝑦=𝐻𝑀𝐻𝑁=𝐸𝑀𝐷𝑁
.
Vì ME⟂BCcap M cap E ⟂ cap B cap C
𝑀𝐸⟂𝐵𝐶
và ND⟂BCcap N cap D ⟂ cap B cap C
𝑁𝐷⟂𝐵𝐶
nên ME//NDcap M cap E / / cap N cap D
𝑀𝐸//𝑁𝐷
.
Do đó, tam giác HME và tam giác HDN đồng dạng (g-g).
xy=HMHN=HEHDx over y end-fraction equals the fraction with numerator cap H cap M and denominator cap H cap N end-fraction equals the fraction with numerator cap H cap E and denominator cap H cap D end-fraction
𝑥𝑦=𝐻𝑀𝐻𝑁=𝐻𝐸𝐻𝐷
.
Ta có HEHD=CMBDthe fraction with numerator cap H cap E and denominator cap H cap D end-fraction equals the fraction with numerator cap C cap M and denominator cap B cap D end-fraction
𝐻𝐸𝐻𝐷=𝐶𝑀𝐵𝐷
.
Vì EM⟂BCcap E cap M ⟂ cap B cap C
𝐸𝑀⟂𝐵𝐶
và DN⟂BCcap D cap N ⟂ cap B cap C
𝐷𝑁⟂𝐵𝐶
nên EM//DNcap E cap M / / cap D cap N
𝐸𝑀//𝐷𝑁
.
Do đó HMHN=EMDNthe fraction with numerator cap H cap M and denominator cap H cap N end-fraction equals the fraction with numerator cap E cap M and denominator cap D cap N end-fraction
𝐻𝑀𝐻𝑁=𝐸𝑀𝐷𝑁
.
Vậy, xy=EMDNx over y end-fraction equals the fraction with numerator cap E cap M and denominator cap D cap N end-fraction
𝑥𝑦=𝐸𝑀𝐷𝑁
.
 
b) Gọi O là giao điểm của DM và EN. Chứng minh HO vuông góc với BC:  
Gọi I là giao điểm của DM và EN.
Xét tứ giác DMEN, ta có ME⟂BCcap M cap E ⟂ cap B cap C
𝑀𝐸⟂𝐵𝐶
và ND⟂BCcap N cap D ⟂ cap B cap C
𝑁𝐷⟂𝐵𝐶
, suy ra ME//NDcap M cap E / / cap N cap D
𝑀𝐸//𝑁𝐷
.
Do đó tứ giác DMEN là hình thang.
Vì O là giao điểm của DM và EN nên O là giao điểm của hai đường chéo của hình thang DMEN.
Do O là giao điểm của hai đường chéo của hình thang DMEN nên O là trung điểm của MN.
Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, ta có BH⟂ACcap B cap H ⟂ cap A cap C
𝐵𝐻⟂𝐴𝐶
và CH⟂ABcap C cap H ⟂ cap A cap B
𝐶𝐻⟂𝐴𝐵
.
Ta có EM là đường cao của tam giác BEC nên ME⟂BCcap M cap E ⟂ cap B cap C
𝑀𝐸⟂𝐵𝐶
.
Ta có DN là đường cao của tam giác BDC nên DN⟂BCcap D cap N ⟂ cap B cap C
𝐷𝑁⟂𝐵𝐶
.
Vì vậy, ME//NDcap M cap E / / cap N cap D
𝑀𝐸//𝑁𝐷
.
Do đó, tứ giác DMEN là hình thang.
Gọi I là giao điểm của DM và EN. Ta có I là giao điểm của hai đường chéo của hình thang DMEN.
Gọi H là trực tâm tam giác ABC, thì Hcap H
𝐻
thuộc BDcap B cap D
𝐵𝐷
và Hcap H
𝐻
thuộc CEcap C cap E
𝐶𝐸
.
Vì BD⟂ACcap B cap D ⟂ cap A cap C
𝐵𝐷⟂𝐴𝐶
và CE⟂ABcap C cap E ⟂ cap A cap B
𝐶𝐸⟂𝐴𝐵
nên Hcap H
𝐻
là trực tâm của tam giác ABC.
O là giao điểm của DM và EN, ta có O là giao điểm hai đường chéo của hình thang DMEN.
...Xem thêm