Chứng minh:
Xét 2 tam giác ADFADFADF và CDKCDKCDK, ta có:

∠DAF=∠DCK=90∘\angle DAF = \angle DCK = 90^\circ∠DAF=∠DCK=90∘ (do ABCDABCDABCD là hình vuông, các góc tại đỉnh AAA và CCC là vuông, và FFF đối xứng qua AAA với đoạn thẳng kéo dài).
AD=DCAD = DCAD=DC (vì là hai cạnh đối của hình vuông).
AF=CKAF = CKAF=CK (giả thiết).
=> Hai tam giác ADFADFADF và CDKCDKCDK có:

1 cạnh bằng 1 cạnh: AD=DCAD = DCAD=DC,
1 góc vuông tương ứng: ∠DAF=∠DCK=90∘\angle DAF = \angle DCK = 90^\circ∠DAF=∠DCK=90∘,
1 cạnh kề góc vuông: AF=CKAF = CKAF=CK,
→ △ADF=△CDK\triangle ADF = \triangle CDK△ADF=△CDK (chứng minh bằng cạnh – góc vuông – cạnh).

✅ Kết luận a: △ADF=△CDK\triangle ADF = \triangle CDK△ADF=△CDK

b) Chứng minh tam giác DEFDEFDEF cân
Phân tích:
Đã biết: AF=CKAF = CKAF=CK, và △ADF=△CDK\triangle ADF = \triangle CDK△ADF=△CDK → có thể khai thác đối xứng hoặc các cạnh liên quan.

Ta chứng minh DE=FEDE = FEDE=FE.

Chứng minh:
Từ △ADF=△CDK\triangle ADF = \triangle CDK△ADF=△CDK, ta suy ra:

∠FDA=∠KDC\angle FDA = \angle KDC∠FDA=∠KDC
DF=DKDF = DKDF=DK
Xét tam giác DEFDEFDEF, trong đó:

DK=DFDK = DFDK=DF (từ tam giác bằng nhau ở trên),
DKDKDK nằm trên phân giác ∠CDE\angle CDE∠CDE, tức là góc ∠KDE=∠FDE\angle KDE = \angle FDE∠KDE=∠FDE.
⇒ ∠FDE=∠KDE\angle FDE = \angle KDE∠FDE=∠KDE → vì DK là phân giác, nên tam giác DEFDEFDEF có hai góc ở đáy bằng nhau.

⇒ △DEF\triangle DEF△DEF cân tại đỉnh EEE.

✅ Kết luận b: △DEF\triangle DEF△DEF cân

c) Chứng minh AE+CK=DEAE + CK = DEAE+CK=DE
Phân tích:
Ta biết FFF nằm trên tia đối của ABABAB, nên AE+EF=AFAE + EF = AFAE+EF=AF.
Mà AF=CKAF = CKAF=CK (giả thiết),
Nếu DEFDEFDEF cân tại EEE, thì DE=EFDE = EFDE=EF.
Chứng minh:
Từ tam giác cân DEFDEFDEF tại EEE, suy ra:

DE=EFDE = EFDE=EF
Mà:

AE+EF=AF=CKAE + EF = AF = CKAE+EF=AF=CK ⇒ AE+EF=CKAE + EF = CKAE+EF=CK
Do đó:

AE+CK=AE+EF=DEAE + CK = AE + EF = DEAE+CK=AE+EF=DE✅ Kết luận c: AE+CK=DEAE + CK = DEAE+CK=DE

Xét 2 tam giác ADFADFADF và CDKCDKCDK, ta có:

∠DAF=∠DCK=90∘\angle DAF = \angle DCK = 90^\circ∠DAF=∠DCK=90∘ (do ABCDABCDABCD là hình vuông, các góc tại đỉnh AAA và CCC là vuông, và FFF đối xứng qua AAA với đoạn thẳng kéo dài).
AD=DCAD = DCAD=DC (vì là hai cạnh đối của hình vuông).
AF=CKAF = CKAF=CK (giả thiết).
=> Hai tam giác ADFADFADF và CDKCDKCDK có:

1 cạnh bằng 1 cạnh: AD=DCAD = DCAD=DC,
1 góc vuông tương ứng: ∠DAF=∠DCK=90∘\angle DAF = \angle DCK = 90^\circ∠DAF=∠DCK=90∘,
1 cạnh kề góc vuông: AF=CKAF = CKAF=CK,
→ △ADF=△CDK\triangle ADF = \triangle CDK△ADF=△CDK (chứng minh bằng cạnh – góc vuông – cạnh).

 Kết luận a: △ADF=△CDK\triangle ADF = \triangle CDK△ADF=△CDK

b) Chứng minh tam giác DEFDEFDEF cân
Phân tích:
Đã biết: AF=CKAF = CKAF=CK, và △ADF=△CDK\triangle ADF = \triangle CDK△ADF=△CDK → có thể khai thác đối xứng hoặc các cạnh liên quan.

Ta chứng minh DE=FEDE = FEDE=FE.

Chứng minh:
Từ △ADF=△CDK\triangle ADF = \triangle CDK△ADF=△CDK, ta suy ra:

∠FDA=∠KDC\angle FDA = \angle KDC∠FDA=∠KDC
DF=DKDF = DKDF=DK
Xét tam giác DEFDEFDEF, trong đó:

DK=DFDK = DFDK=DF (từ tam giác bằng nhau ở trên),
DKDKDK nằm trên phân giác ∠CDE\angle CDE∠CDE, tức là góc ∠KDE=∠FDE\angle KDE = \angle FDE∠KDE=∠FDE.
⇒ ∠FDE=∠KDE\angle FDE = \angle KDE∠FDE=∠KDE → vì DK là phân giác, nên tam giác DEFDEFDEF có hai góc ở đáy bằng nhau.

⇒ △DEF\triangle DEF△DEF cân tại đỉnh EEE.

 Kết luận b: △DEF\triangle DEF△DEF cân

c) Chứng minh AE+CK=DEAE + CK = DEAE+CK=DE
Phân tích:
Ta biết FFF nằm trên tia đối của ABABAB, nên AE+EF=AFAE + EF = AFAE+EF=AF.
Mà AF=CKAF = CKAF=CK (giả thiết),
Nếu DEFDEFDEF cân tại EEE, thì DE=EFDE = EFDE=EF.
Chứng minh:
Từ tam giác cân DEFDEFDEF tại EEE, suy ra:

DE=EFDE = EFDE=EF
Mà:

AE+EF=AF=CKAE + EF = AF = CKAE+EF=AF=CK ⇒ AE+EF=CKAE + EF = CKAE+EF=CK
Do đó:

AE+CK=AE+EF=DEAE + CK = AE + EF = DEAE+CK=AE+EF=DE✅ Kết luận c: AE+CK=DEAE + CK = DEAE+CK=DE