Chứng minh các tính chất trong hình bình hành ABCD
Cho hình bình hành ABCD.

K là trung điểm của AB.
I là trung điểm của CD.
M là giao điểm của AI và BD.
N là giao điểm của CK và BD.
a) Chứng minh △ADM=△CBN

Bước 1: Chứng minh AKCI là hình bình hành.

Vì ABCD là hình bình hành nên AB∥CD và AB=CD.
K là trung điểm của AB ⇒AK=KB=21​AB.
I là trung điểm của CD ⇒CI=ID=21​CD.
Do AB=CD, suy ra AK=CI.
Mặt khác, AB∥CD⇒AK∥CI.
Tứ giác AKCI có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau (AK∥CI và AK=CI) nên AKCI là hình bình hành.
Từ đó suy ra AI∥KC.
Bước 2: Chứng minh hai tam giác bằng nhau.

Xét △ADM và △CBN:

AD=CB (hai cạnh đối của hình bình hành ABCD).
∠ADM=∠CBN (hai góc so le trong, do AD∥BC và BD là cát tuyến).
∠AMD=∠CNB (hai góc so le trong, do AI∥KC (chứng minh trên) và BD là cát tuyến).
Vậy, △ADM=△CBN (theo trường hợp góc - cạnh - góc: g.c.g).
b) Chứng minh ∠MAC=∠NCA và IM∥CN

Bước 1: Chứng minh ∠MAC=∠NCA.

Vì AKCI là hình bình hành (chứng minh ở câu a) nên AI∥KC.
AC là đường chéo cắt hai đường thẳng song song AI và KC.
Do đó, ∠MAC=∠NCA (hai góc so le trong).
Bước 2: Chứng minh IM∥CN.

Chúng ta đã chứng minh AI∥KC ở câu a.
Vì M nằm trên AI và N nằm trên KC, nên đoạn thẳng IM là một phần của đường thẳng AI, và đoạn thẳng CN là một phần của đường thẳng KC.
Do AI∥KC, suy ra IM∥CN.
c) Chứng minh DM=MN=NB

Bước 1: Chứng minh DM=MN.

Xét △DCN:

I là trung điểm của CD (theo giả thiết).
IM∥CN (chứng minh ở câu b).
Theo định lý đường trung bình trong tam giác (hoặc định lý Ta-lét đảo), đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.
Vì I là trung điểm CD và IM∥CN, suy ra M là trung điểm của DN.
Do đó, DM=MN. (1)
Bước 2: Chứng minh MN=NB.

Xét △ABM:

K là trung điểm của AB (theo giả thiết).
KN∥AM (vì KC∥AI, và KN là một phần của KC, AM là một phần của AI).
Tương tự, theo định lý đường trung bình trong tam giác, vì K là trung điểm AB và KN∥AM, suy ra N là trung điểm của BM.
Do đó, MN=NB. (2)
Bước 3: Kết luận.

Từ (1) và (2), ta có DM=MN=NB.
d) Chứng minh AC, BD, IK đồng quy tại một điểm

Bước 1: Gọi giao điểm của AC và BD.

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD.
Theo tính chất của hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Do đó, O là trung điểm của AC và O là trung điểm của BD.
Bước 2: Chứng minh O là trung điểm của IK.

Xét tứ giác AKCI. Chúng ta đã chứng minh AKCI là hình bình hành ở câu a.
AC và IK là hai đường chéo của hình bình hành AKCI.
Theo tính chất của hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Vì O là trung điểm của AC (chứng minh trên), suy ra O cũng phải là trung điểm của IK.
Bước 3: Kết luận.

Vì O là trung điểm của AC, BD và IK, điều này có nghĩa là ba đường thẳng AC, BD và IK đều đi qua cùng một điểm O.
Vậy, AC, BD, IK đồng quy tại điểm O.