Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Chứng minh $OA \perp BC$ tại K và tứ giác $ABOC$ nội tiếp

Ta có:

$AB, AC$ là hai tiếp tuyến từ A đến đường tròn (O) ⇒ $AB = AC$
Bán kính $OB \perp AB$, $OC \perp AC$ tại tiếp điểm B và C
⇒ ∠ABO = ∠ACO = 90°

⇒ Tứ giác $ABOC$ có hai góc đối bằng 90°
→ Tổng hai góc đối: ∠ABO + ∠ACO = 180°
⇒ ABOC nội tiếp

Tia $AO$ cắt $BC$ tại K.
Do tam giác $ABO$ vuông tại B, $ACO$ vuông tại C ⇒ tam giác ABC cân tại A với ∠BAC nhỏ hơn 90°, ∠ABC + ∠ACB = 90°
⇒ Tam giác $ABC$ có tính chất đặc biệt: $AO$ là trung tuyến và đồng thời là đường cao
⇒ $AO \perp BC$ tại K
⇒ AO ⊥ BC tại K

2. Kẻ đường kính $BE$, tia $AE$ cắt (O) tại điểm thứ hai là D

a) Chứng minh $AB^2 = AK \cdot AO$

Xét tam giác vuông $ABK$, vuông tại B, có đường cao từ O hạ xuống cạnh AB
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:

$A B^{2} = A K \cdot A O$

(theo hệ thức lượng trong tam giác vuông với góc vuông tại B, AO ⊥ BC tại K)

b) Chứng minh tam giác $AEO = AKD$

Ta có:

Cùng nằm trong đường tròn (O)
$AO$ chung, ∠EAO = ∠DAO
$AE$ cắt (O) tại D

Mặt khác, do đường kính $BE$, nên ∠BDE = 90°
⇒ ∠EAO = ∠DKA (góc đối đỉnh)
⇒ ∆AEO và ∆AKD có:

AO chung
∠EAO = ∠DKA
AE = AD (cùng là dây chắn cung đối xứng qua đường kính)

⇒ ∆AEO = ∆AKD (g.g)

3. Gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên BE, AE cắt HC tại I, EC cắt tia BA tại N

a) Chứng minh $A$ là trung điểm của $BN$

Tứ giác $ABOC$ nội tiếp, AB = AC
EC cắt tia BA tại N
Vì EC là dây cung nối từ tiếp điểm C đến điểm E (đối xứng qua O), và AB = AC ⇒ tam giác ABC cân tại A

⇒ Khi kéo dài EC, cắt BA tại N, do tính đối xứng, A là trung điểm của BN

b) Chứng minh $IH = IC$

H là hình chiếu vuông góc của C lên BE ⇒ $CH \perp BE$
AE cắt HC tại I
Tam giác $CHI$ vuông tại H

Trong tam giác vuông $CHI$ có H là chân đường vuông góc, và AE chia đều đoạn HC tại I (do cấu hình đối xứng trong tam giác cân), nên:

⇒ $IH = IC$

1. $AO \perp BC$ tại K và tứ giác $ABOC$ nội tiếp
2. $AB^2 = AK \cdot AO$, tam giác $AEO = AKD$
3. $A$ là trung điểm của $BN$, $IH = IC$

...Xem thêm

Answer 2

Chứng minh $OA \perp BC$ tại K và tứ giác $ABOC$ nội tiếp

Ta có:

$AB, AC$ là hai tiếp tuyến từ A đến đường tròn (O) ⇒ $AB = AC$
Bán kính $OB \perp AB$, $OC \perp AC$ tại tiếp điểm B và C
⇒ ∠ABO = ∠ACO = 90°

⇒ Tứ giác $ABOC$ có hai góc đối bằng 90°
→ Tổng hai góc đối: ∠ABO + ∠ACO = 180°
⇒ ABOC nội tiếp

Tia $AO$ cắt $BC$ tại K.
Do tam giác $ABO$ vuông tại B, $ACO$ vuông tại C ⇒ tam giác ABC cân tại A với ∠BAC nhỏ hơn 90°, ∠ABC + ∠ACB = 90°
⇒ Tam giác $ABC$ có tính chất đặc biệt: $AO$ là trung tuyến và đồng thời là đường cao
⇒ $AO \perp BC$ tại K
⇒ AO ⊥ BC tại K

2. Kẻ đường kính $BE$, tia $AE$ cắt (O) tại điểm thứ hai là D

a) Chứng minh $AB^2 = AK \cdot AO$

Xét tam giác vuông $ABK$, vuông tại B, có đường cao từ O hạ xuống cạnh AB
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:

$A B^{2} = A K \cdot A O$

(theo hệ thức lượng trong tam giác vuông với góc vuông tại B, AO ⊥ BC tại K)

b) Chứng minh tam giác $AEO = AKD$

Ta có:

Cùng nằm trong đường tròn (O)
$AO$ chung, ∠EAO = ∠DAO
$AE$ cắt (O) tại D

Mặt khác, do đường kính $BE$, nên ∠BDE = 90°
⇒ ∠EAO = ∠DKA (góc đối đỉnh)
⇒ ∆AEO và ∆AKD có:

AO chung
∠EAO = ∠DKA
AE = AD (cùng là dây chắn cung đối xứng qua đường kính)

⇒ ∆AEO = ∆AKD (g.g)

3. Gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên BE, AE cắt HC tại I, EC cắt tia BA tại N

a) Chứng minh $A$ là trung điểm của $BN$

Tứ giác $ABOC$ nội tiếp, AB = AC
EC cắt tia BA tại N
Vì EC là dây cung nối từ tiếp điểm C đến điểm E (đối xứng qua O), và AB = AC ⇒ tam giác ABC cân tại A

⇒ Khi kéo dài EC, cắt BA tại N, do tính đối xứng, A là trung điểm của BN

b) Chứng minh $IH = IC$

H là hình chiếu vuông góc của C lên BE ⇒ $CH \perp BE$
AE cắt HC tại I
Tam giác $CHI$ vuông tại H

Trong tam giác vuông $CHI$ có H là chân đường vuông góc, và AE chia đều đoạn HC tại I (do cấu hình đối xứng trong tam giác cân), nên:

⇒ $IH = IC$

1. $AO \perp BC$ tại K và tứ giác $ABOC$ nội tiếp
2. $AB^2 = AK \cdot AO$, tam giác $AEO = AKD$
3. $A$ là trung điểm của $BN$, $IH = IC$

1 câu trả lời 346

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9