Phân tích từ giả thiết:

Ta có phương trình: 2025xy=2026zt.

Nhận thấy rằng 2025 và 2026 là hai số nguyên dương liên tiếp. Điều này gợi ý cho chúng ta một số suy luận về tính chia hết.

Vì 2025xy=2026zt, ta có:

2026zt chia hết cho 2025.
2025xy chia hết cho 2026.
Do 2025=34×52 và 2026=2×1013 (1013 là số nguyên tố), và gcd(2025,2026)=1, ta suy ra:

zt phải chia hết cho 2025.
xy phải chia hết cho 2026.
Xét biểu thức cần xác định:

Đặt A=2025(x2+y2)+2026(z2+t2).

Chúng ta sẽ cố gắng biến đổi biểu thức A để xem nó có thừa số nào khác 1 và chính nó hay không.

Từ giả thiết 2025xy=2026zt, ta có thể viết: ztxy​=20252026​

Xét một trường hợp đơn giản nhất để hình dung:

Giả sử x=2026k1​,y=l1​,z=2025k2​,t=l2​ sao cho 2025⋅2026k1​l1​=2026⋅2025k2​l2​, điều này đúng khi k1​l1​=k2​l2​.

Chọn k1​=1,l1​=1,k2​=1,l2​=1. Khi đó: x=2026,y=1,z=2025,t=1.

Thay các giá trị này vào biểu thức A: A=2025(20262+12)+2026(20252+12) A=2025⋅20262+2025+2026⋅20252+2026 A=2025⋅2026(2026+2025)+(2025+2026) A=(2025⋅2026+1)(2026+2025) A=(4091650+1)⋅4051 A=4091651⋅4051

Vì A là tích của hai số nguyên dương lớn hơn 1 (4091651>1 và 4051>1), nên A là một hợp số trong trường hợp này.

Chứng minh tổng quát:

Từ 2025xy=2026zt, ta có thể đặt 2025xy=2026zt=k, với k là một số nguyên dương.

Khi đó, xy=2025k​ và zt=2026k​. Vì x,y,z,t là các số nguyên dương, k phải chia hết cho cả 2025 và 2026. Do gcd(2025,2026)=1, k phải chia hết cho 2025×2026.

Đặt k=m⋅2025⋅2026, với m là một số nguyên dương.

Khi đó, xy=2026m và zt=2025m.

Xét biểu thức A=2025(x2+y2)+2026(z2+t2).

Ta có thể viết lại giả thiết như sau: zx​=2025y2026t​.

Xét một trường hợp khác: Chọn x=2026a,z=2025a với a là số nguyên dương. Khi đó, 2025⋅2026a⋅y=2026⋅2025a⋅t, suy ra y=t.

Thay vào biểu thức A: A=2025((2026a)2+y2)+2026((2025a)2+y2) A=2025⋅20262a2+2025y2+2026⋅20252a2+2026y2 A=2025⋅2026a2(2026+2025)+y2(2025+2026) A=(2025⋅2026a2+y2)(2026+2025) A=(4091650a2+y2)⋅4051

Vì a,y là các số nguyên dương, 4091650a2+y2>1 và 4051>1. Do đó, A là tích của hai số nguyên dương lớn hơn 1, suy ra A là hợp số.

Kết luận:

Với mọi số nguyên dương x,y,z,t thỏa mãn 2025xy=2026zt, biểu thức 2025(x2+y2)+2026(z2+t2) luôn là một hợp số.