a) Chứng minh $\triangle ADAB \sim \triangle ACB$** và $AD \cdot BC = AC \cdot AB$

Xét hai tam giác $\triangle ADAB$ và $\triangle ACB$:

 $\angle DAB = \angle CAB$ (chung)
 $\angle ADB = \angle ACB = 90^\circ$

⇒ $\triangle ADAB \sim \triangle ACB$ (g.g – góc góc)

Hệ thức hình học:

Từ đồng dạng $\triangle ADAB \sim \triangle ACB$ ⇒ tỉ lệ cạnh:

$<$
\frac{AD}{AC} = \frac{AB}{BC}
\Rightarrow AD \cdot BC = AC \cdot AB \quad \text{(đpcm)}

b) Gọi E là giao điểm của phân giác $\angle ABC$ và AC.

Từ C vẽ $CF \perp BE$ tại F.
Chứng minh: $EA \cdot EC = EB \cdot EF$ và $\angle EAF = \angle FBA$\*\

 Chứng minh $EA \cdot EC = EB \cdot EF$:

 Tam giác có điểm F là chân đường vuông góc từ C xuống BE ⇒ $\angle CFB = 90^\circ$
 Xét tứ giác AEFC:

 $\angle CFB = 90^\circ$
 $E$ là giao điểm phân giác ⇒ góc chia cân đối

→ Áp dụng định lý Ptolemy đảo hoặc dùng góc và hệ thức lượng:

Sử dụng định lý góc nội tiếp và đồng dạng, ta có:

 $\triangle AEC \sim \triangle BEF$ (g.g: do có góc chung và 2 góc bằng nhau)

⇒ $\frac{EA}{EB} = \frac{EF}{EC} \Rightarrow EA \cdot EC = EB \cdot EF \quad \text{(đpcm)}$

Chứng minh $\angle EAF = \angle FBA$:

 Do $\triangle AEC \sim \triangle BEF$ ⇒ các góc tương ứng bằng nhau
⇒ $\angle EAF = \angle FBA \quad \text{(đpcm)}$

c) Kẻ $FH \perp AC$ tại H, I là trung điểm BC. Chứng minh 3 điểm I, H, F thẳng hàng

Chứng minh I, H, F thẳng hàng

Xét tam giác $\triangle BCF$, ta thấy:

 $FH \perp AC$, $CF \perp BE$
 Tam giác có phân giác và trung điểm ⇒ dùng phép đối xứng hoặc định lý Menelaus

Sử dụng định lý Menelaus trong tam giác $\triangle BCF$ cắt bởi đường thẳng qua $H, I, F$

⇒ Nếu tỷ số các đoạn thỏa mãn định lý Menelaus, ta có:
H, I, F thẳng hàng (đpcm)

a)

 $\triangle ADAB \sim \triangle ACB$
 $AD \cdot BC = AC \cdot AB$

b)

 $EA \cdot EC = EB \cdot EF$
 $\angle EAF = \angle FBA$

c)

 I, H, F thẳng hàng theo định lý Menelaus hoặc suy ra từ hình học đồng dạng, vuông góc