Cách 1: Tìm mẫu số chung và chèn phân số

Tìm mẫu số chung: Mẫu số chung nhỏ nhất của 3 và 2 là 6.
Quy đồng mẫu số:31​=3×21×2​=62​
21​=2×31×3​=63​
Chèn phân số: Chúng ta cần tìm các phân số có mẫu số là 6 nằm giữa 62​ và 63​. Rõ ràng không có số nguyên nào nằm giữa 2 và 3. Để khắc phục điều này, chúng ta có thể nhân cả tử số và mẫu số của hai phân số này với một số lớn hơn 1 (ví dụ, nhân với 2):62​=6×22×2​=124​
63​=6×23×2​=126​
Chọn hai phân số: Bây giờ, chúng ta dễ dàng tìm được các phân số nằm giữa 124​ và 126​. Ví dụ, 125​ là một phân số thỏa mãn.
Để tìm phân số thứ hai, chúng ta có thể nhân cả tử số và mẫu số của 31​ và 21​ với một số khác, hoặc tiếp tục nhân 124​ và 126​ với một số khác. Ví dụ, nhân với 2 lần nữa: * 124​=12×24×2​=248​ * 126​=12×26×2​=2412​ Một phân số nằm giữa 248​ và 2412​ là 2410​ (có thể rút gọn thành 125​, nhưng chúng ta cần một phân số khác). Một phân số khác là 249​ (rút gọn thành 83​) hoặc 2411​.

Vậy, hai phân số thỏa mãn điều kiện là 125​ và 83​ (hoặc 125​ và 2410​, hoặc 125​ và 2411​, v.v.).

Cách 2: Lấy trung bình cộng

Tính trung bình cộng của hai phân số: Trung bình cộng của 31​ và 21​ là: 231​+21​​=262​+63​​=265​​=125​ Phân số 125​ chắc chắn lớn hơn 31​ và bé hơn 21​.
Tìm phân số thứ hai: Chúng ta có thể lấy trung bình cộng của 31​ và 125​, hoặc của 125​ và 21​.

Trung bình cộng của 31​ và 125​: 231​+125​​=2124​+125​​=2129​​=249​=83​
Vậy, hai phân số vừa lớn hơn 31​ vừa bé hơn 21​ có thể là 125​ và 83​.