Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Nhận xét:

Các số trong mẫu là các số chẵn: 2, 4, 6, ..., 2022.

Mà \( 2n \) là số chẵn bất kỳ ⇒ \( (2n)^2 = 4n^2 \).

Vậy:

\[
\dfrac{1}{(2n)^2} = \dfrac{1}{4n^2}
\]

Biến đổi A:

Ta có:

\[
A = \sum \dfrac{1}{(2n)^2} = \sum \dfrac{1}{4n^2} = \dfrac{1}{4} \sum \dfrac{1}{n^2}
\]

(Trong đó \( n \) chạy qua các số 1, 2, 3, ..., 1011 — vì \(2 \times 1011 = 2022\)).

---

Vậy:

\[
A = \dfrac{1}{4} \left( \dfrac{1}{1^2} + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2} + \ldots + \dfrac{1}{1011^2} \right)
\]

Bây giờ đánh giá:

Ta biết rằng:

\[
\dfrac{1}{1^2} + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2} + \ldots
\]

là một chuỗi hội tụ và giá trị tổng dần dần tiến tới một số bé hơn 2. Cụ thể:

- Tổng vô hạn \(\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^2}\) gần bằng \( \dfrac{\pi^2}{6} \approx 1,6449 \).

=> Tổng hữu hạn từ 1 đến 1011 chắc chắn bé hơn 1,6449.

---

Vậy:

\[
A < \dfrac{1}{4} \times 1,6449 \approx 0,4112
\]

Mà:

\[
0,4112 < \dfrac{1}{2} = 0,5
\]

Do đó, ta chứng minh được rằng:

\[
A < \dfrac{1}{2}
\]

Kết luận: Đúng, A < 1/2.

...Xem thêm

Answer 2

Nhận xét:

Các số trong mẫu là các số chẵn: 2, 4, 6, ..., 2022.

Mà \( 2n \) là số chẵn bất kỳ ⇒ \( (2n)^2 = 4n^2 \).

Vậy:

\[
\dfrac{1}{(2n)^2} = \dfrac{1}{4n^2}
\]

Biến đổi A:

Ta có:

\[
A = \sum \dfrac{1}{(2n)^2} = \sum \dfrac{1}{4n^2} = \dfrac{1}{4} \sum \dfrac{1}{n^2}
\]

(Trong đó \( n \) chạy qua các số 1, 2, 3, ..., 1011 — vì \(2 \times 1011 = 2022\)).

---

Vậy:

\[
A = \dfrac{1}{4} \left( \dfrac{1}{1^2} + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2} + \ldots + \dfrac{1}{1011^2} \right)
\]

Bây giờ đánh giá:

Ta biết rằng:

\[
\dfrac{1}{1^2} + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2} + \ldots
\]

là một chuỗi hội tụ và giá trị tổng dần dần tiến tới một số bé hơn 2. Cụ thể:

- Tổng vô hạn \(\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^2}\) gần bằng \( \dfrac{\pi^2}{6} \approx 1,6449 \).

=> Tổng hữu hạn từ 1 đến 1011 chắc chắn bé hơn 1,6449.

---

Vậy:

\[
A < \dfrac{1}{4} \times 1,6449 \approx 0,4112
\]

Mà:

\[
0,4112 < \dfrac{1}{2} = 0,5
\]

Do đó, ta chứng minh được rằng:

\[
A < \dfrac{1}{2}
\]

Kết luận: Đúng, A < 1/2.

Answer 3

Chào bạn, bài này có vẻ hơi phức tạp một chút, nhưng mình sẽ giúp bạn chứng minh nhé!

Ta có biểu thức A như sau:

A=221+421+621+⋯+202021+202221

Ta có thể viết lại mỗi số hạng trong tổng A như sau:

(2n)21=4n21=41⋅n21

Với n lần lượt là 1,2,3,…,1010,1011.

Vậy, ta có thể viết lại A như sau:

A=41(121+221+321+⋯+101021+101121)

Đặt S=121+221+321+⋯+101021+101121.

Ta cần chứng minh A<21, tức là chứng minh 41S<21, hay S<2.

Xét tổng S:

S=1+221+321+⋯+101121

Ta sẽ so sánh từng số hạng n21 với một số hạng khác. Ta biết rằng với n≥2:

n21<n(n−1)1=n−11−n1

Áp dụng bất đẳng thức này cho các số hạng của S (trừ số hạng đầu tiên):

221<11−21 321<21−31 421<31−41 … 101121<10101−10111

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên, ta được:

221+321+⋯+101121<(1−21)+(21−31)+(31−41)+⋯+(10101−10111)

Các số hạng trung gian ở vế phải sẽ triệt tiêu lẫn nhau, ta còn lại:

221+321+⋯+101121<1−10111

Do đó:

S=1+221+321+⋯+101121<1+(1−10111)=2−10111

Vì 10111>0, nên 2−10111<2.

Vậy, ta có S<2.

Suy ra:

A=41S<41⋅2=21

Vậy, ta đã chứng minh được A<21.

Bạn thấy cách chứng minh này thế nào? Nếu có chỗ nào chưa rõ, cứ hỏi mình nhé!

...Xem thêm

Answer 4

Chào bạn, bài này có vẻ hơi phức tạp một chút, nhưng mình sẽ giúp bạn chứng minh nhé!

Ta có biểu thức A như sau:

A=221+421+621+⋯+202021+202221

Ta có thể viết lại mỗi số hạng trong tổng A như sau:

(2n)21=4n21=41⋅n21

Với n lần lượt là 1,2,3,…,1010,1011.

Vậy, ta có thể viết lại A như sau:

A=41(121+221+321+⋯+101021+101121)

Đặt S=121+221+321+⋯+101021+101121.

Ta cần chứng minh A<21, tức là chứng minh 41S<21, hay S<2.

Xét tổng S:

S=1+221+321+⋯+101121

Ta sẽ so sánh từng số hạng n21 với một số hạng khác. Ta biết rằng với n≥2:

n21<n(n−1)1=n−11−n1

Áp dụng bất đẳng thức này cho các số hạng của S (trừ số hạng đầu tiên):

221<11−21 321<21−31 421<31−41 … 101121<10101−10111

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên, ta được:

221+321+⋯+101121<(1−21)+(21−31)+(31−41)+⋯+(10101−10111)

Các số hạng trung gian ở vế phải sẽ triệt tiêu lẫn nhau, ta còn lại:

221+321+⋯+101121<1−10111

Do đó:

S=1+221+321+⋯+101121<1+(1−10111)=2−10111

Vì 10111>0, nên 2−10111<2.

Vậy, ta có S<2.

Suy ra:

A=41S<41⋅2=21

Vậy, ta đã chứng minh được A<21.

Bạn thấy cách chứng minh này thế nào? Nếu có chỗ nào chưa rõ, cứ hỏi mình nhé!

Answer 5

Để chứng minh A<21, ta sẽ làm như sau:

1. Đặt biểu thức A:

A=221+421+621+...+202021+202221

2. Biến đổi biểu thức:

Ta có thể viết lại A như sau:

A=(2⋅1)21+(2⋅2)21+(2⋅3)21+...+(2⋅1010)21+(2⋅1011)21

A=221(121+221+321+...+101021+101121)

A=41(1+221+321+...+101021+101121)

3. Sử dụng bất đẳng thức:

Ta biết rằng:

n21<n(n−1)1=n−11−n1 với mọi n > 1

Áp dụng bất đẳng thức này cho các số hạng trong ngoặc:

1+221+321+...+101021+101121<1+(11−21)+(21−31)+...+(10091−10101)+(10101−10111)

=1+1−10111=2−10111<2

4. Kết luận:

Vậy,

A<41⋅2=21

Do đó, ta có điều phải chứng minh: A<21.

4 câu trả lời 168

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 6