Ta đặt hệ trục tọa độ cho dễ hiểu:
- \( A = (0, 0) \), \( B = (6, 0) \)
- \( D = (0, 6) \), \( C = (6, 6) \)

Tính tọa độ các điểm:
- F là trung điểm \( AD \):
\[
F = \left( \frac{0+0}{2}, \frac{0+6}{2} \right) = (0, 3)
\]
- E là trung điểm \( FD \):
\[
E = \left( \frac{0+0}{2}, \frac{3+6}{2} \right) = (0, 4.5)
\]
- BE: đi qua \( B = (6, 0) \) và \( E = (0, 4.5) \)
→ Phương trình đường BE:
\[
y = -\frac{4.5}{6}x + 4.5 = -0.75x + 4.5
\]
- CF: đi qua \( C = (6, 6) \) và \( F = (0, 3) \)
→ Hệ số góc:
\[
k = \frac{6 - 3}{6 - 0} = \frac{3}{6} = 0.5
\Rightarrow y = 0.5x + 3
\]

Tìm tọa độ G (giao điểm BE và CF)

Giải hệ:
\[
\begin{cases}
y = -0.75x + 4.5 \\
y = 0.5x + 3
\end{cases}
\]

Giải:
\[
-0.75x + 4.5 = 0.5x + 3
\Rightarrow -1.25x = -1.5
\Rightarrow x = \frac{6}{5} = 1.2
\Rightarrow y = 0.5 \cdot 1.2 + 3 = 3.6
\]

→ \( G = (1.2, 3.6) \)

Tính diện tích tam giác EGF

Dùng công thức tọa độ:
\[
S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|
\]

Với:
- \( E = (0, 4.5) \)
- \( G = (1.2, 3.6) \)
- \( F = (0, 3) \)

Tính:

\[
S = \frac{1}{2} \left| 0(3.6 - 3) + 1.2(3 - 4.5) + 0(4.5 - 3.6) \right|
= \frac{1}{2} \cdot |-1.8| = \frac{1.8}{2} = 0.9
\]

Diện tích tam giác \( \triangle EGF \) là:

\[
\boxed{0{,}9\,\text{cm}^2}
\]