Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

a) Chứng minh tứ giác \( AMNO \) là tứ giác nội tiếp

Vì:
- \( AB \) là đường kính ⇒ \( \angle AMB = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
- Đường kính vuông góc với AB cắt MC tại N ⇒ \( ON \perp AB \) (vì là đường kính vuông góc với AB).

Ta xét tứ giác \( AMNO \):

- Trong tam giác \( AMB \), \( \angle AMB = 90^\circ \)
- \( O \) là trung điểm \( AB \), do \( AB \) là đường kính.
- \( ON \perp AB \), nên điểm \( N \) thuộc đường kính vuông góc với AB ⇒ \( ON \perp AB \)

=> \( \angle AMO + \angle ANO = 180^\circ \)

⇒ Tứ giác \( AMNO \) có tổng hai góc đối bằng \( 180^\circ \) ⇒ là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh \( \angle OMB = \angle CAM \) và \( MA^2 = MB \cdot MC \)

1. Chứng minh \( \angle OMB = \angle CAM \)

- Xét tam giác \( OMB \) và góc \( OMB \) nằm trong đường tròn.
- Tia tiếp tuyến tại A ⇒ \( \angle CAM \) là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây MA.
- Theo định lý: **Góc giữa tiếp tuyến và dây bằng góc nội tiếp chắn cùng cung, nên:

\[
\angle CAM = \angle OMB
\]

(vì cùng chắn cung \( MB \)).

2. Chứng minh \( MA^2 = MB \cdot MC \)

- Áp dụng định lý tiếp tuyến - cát tuyến:
Nếu từ điểm \( C \) ngoài đường tròn, kẻ tiếp tuyến \( CA \) và cát tuyến \( CBM \), thì:

\[
CA^2 = CB \cdot CM
\]

- Mà \( CA = MA \) (vì cùng đoạn từ M tới A)
⇒ \( MA^2 = MB \cdot MC \)
- a) Tứ giác \( AMNO \) nội tiếp
- b) \( \angle OMB = \angle CAM \), và \( MA^2 = MB \cdot MC \)

...Xem thêm

Answer 2