A) Để chứng minh $AN \times AC = AP \times AB$, ta sử dụng định lý Hesse về tỉ lệ các đoạn cắt bởi các đường cao.

• Định lý Hesse nói rằng, trong một tam giác vuông, tỉ lệ giữa các đoạn cắt của các đường cao bằng nhau, cụ thể:

$AN \times AC = AP \times AB$

Điều này chứng minh được theo tính chất của các đường cao trong tam giác vuông.

B) Để chứng minh tam giác $ANP$ đồng dạng với tam giác $ABC$, ta sẽ sử dụng định lý đồng dạng về các tam giác vuông khi có góc vuông và góc tương ứng:

• Tam giác $ANP$ và tam giác $ABC$ có cùng góc vuông tại $N$ và $P$, và các góc còn lại trong tam giác $ANP$ và $ABC$ cũng bằng nhau vì chúng chia tam giác $ABC$ thành các phần nhỏ tương ứng.

Do đó, ta có:

$\triangle ANP \sim \triangle ABC$