Vì \( AB = AC \), và \( D \in AB \), nên ta xét tam giác cân tại A để khai thác đối xứng.

Ta có:

- \( CE = BD \)
- \( M \) là trung điểm của \( DE \)

→ Nếu ta chứng minh \( CB \) là đường trung trực của đoạn thẳng \( DE \)
thì điểm trung điểm \( M \) của \( DE \) sẽ nằm trên \( CB \) ⇒ \( B, C, M \) thẳng hàng.

Chứng minh: \( CB \) là đường trung trực của \( DE \)

Xét 2 tam giác:

- Tam giác \( ABD \)
- Tam giác \( ACE \)

Vì:
- \( AB = AC \) (tam giác cân)
- \( BD = CE \) (gt)
- \( \angle ABD = \angle ACE \) (đối đỉnh)

⇒ \( \triangle ABD = \triangle ACE \) (c.g.c)

→ Suy ra:
\[
\angle CBD = \angle BCE
\]

→ Vậy tam giác \( CDB \) cân tại \( C \), và đường thẳng \( CB \) chia \( DE \) thành hai đoạn bằng nhau tại trung điểm \( M \) ⇒ \( CB \perp DE \) tại \( M \)

⇒ \( CB \) là đường trung trực của \( DE \)
⇒ \( M \in CB \)

Suy ra \( C, B, M \) thẳng hàng. Đpcm.

Để chứng minh ba điểm B, C, M thẳng hàng, ta cần chứng minh \(\angle BCM + \angle MCA = 180^\circ\) hoặc \(\angle BCM = \angle ACE\) (vì \(C, A, E\) thẳng hàng).

**Phân tích:**

* Tam giác ABC cân tại A, nên \(AB = AC\) và \(\angle ABC = \angle ACB\).
* \(CE = BD\) (giả thiết).
* M là trung điểm của DE, nên \(DM = ME\).

**Chứng minh:**

1. **Gọi I là trung điểm của BE.**
* Xét tam giác BDE, ta có I là trung điểm BE, M là trung điểm DE.
* Suy ra IM là đường trung bình của tam giác BDE.
* Do đó, \(IM // BD\) và \(IM = \frac{1}{2}BD\).

2. **Chứng minh \(IM // AC\)**
* Vì \(IM // BD\), mà \(BD\) nằm trên \(AB\), nên \(IM // AB\).

3. **Chứng minh \(IM = \frac{1}{2}CE\)**
* Vì \(IM = \frac{1}{2}BD\) và \(BD = CE\), nên \(IM = \frac{1}{2}CE\).

4. **Gọi K là trung điểm của CE.**
* Suy ra \(CK = KE = \frac{1}{2}CE\).
* Vậy \(IM = CK = KE\).

5. **Xét tứ giác CIMK:**
* \(IM // CK\) (vì \(IM // AB\) và \(C, A, E\) thẳng hàng).
* \(IM = CK\) (chứng minh trên).
* Suy ra CIMK là hình bình hành.
* Do đó, \(CM // IK\).

6. **Chứng minh I, K, B, C cùng thuộc một đường tròn:**
* Tam giác ABC cân tại A, nên \(\angle ABC = \angle ACB\).
* \(I\) là trung điểm của BE, suy ra \(BI = IE\).
* \(K\) là trung điểm của CE, suy ra \(CK = KE\).
* Xét \(\triangle BCI\) và \(\triangle ECK\):
* \(BC = AC\) (do tam giác ABC cân)
* \(\angle BCI = \angle ECK\)
* \(CI = CK\)
* Suy ra \(\triangle BCI = \triangle ECK\) (c.g.c)
* Do đó \(\angle CBI = \angle CEK\), tức là \(\angle CBI = \angle IKB\).
* Suy ra tứ giác BCKI nội tiếp.

7. **Chứng minh B, C, M thẳng hàng:**
* Vì tứ giác BCKI nội tiếp, nên \(\angle CKI = \angle CBI = \angle ABC = \angle ACB\).
* Ta có \(CM // IK\) (do CIMK là hình bình hành).
* Suy ra \(\angle BCM = \angle CKI = \angle ACB\).
* Do đó, \(\angle BCM + \angle MCA = \angle ACB + \angle MCA = \angle ACE = 180^\circ\).
* Vậy B, C, M thẳng hàng.