Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm từng phần một.

 a) Chứng minh \( BH = DE \)

Giả sử rằng tam giác \( ABC \) nhọn và \( AH \) vuông góc với \( BC \) tại \( H \). Điểm \( D \) là một điểm trên đường thẳng \( AB \) sao cho \( \triangle ABD \) là tam giác vuông cân tại \( B \). Điều này có nghĩa là:

- \( AB = BD \)
- \( \angle ABD = 90^\circ \)

Lưu ý rằng do \( DE \) vuông góc với \( BC \) tại \( E \), \( DE \) cũng có thể được cho là chiều cao từ điểm \( D \) xuống cạnh \( BC \).

Từ tam giác vuông \( \triangle ABH \) và theo định lý Pitago, ta có:

\[
BH^2 + AH^2 = AB^2
\]

Từ tam giác vuông \( \triangle DBE \), vì \( BD = AB \) (tam giác vuông cân):

\[
BE = d \quad \text{(Độ dài từ } B \text{ đến } E\text{, do } DE \text{ vuông góc với } BC\text{)}
\]

Do đó, \( A \) nằm trên đường thẳng \( DE \) và \( DE \) cũng là chiều cao. Áp dụng định lý Pitago:

\[
DE^2 + AE^2 = AD^2
\]

Từ các mối quan hệ này, chúng ta có thể rút ra rằng chiều cao \( DE \) từ \( D \) xuống \( BC \) bằng chiều cao \( BH \) từ \( B \) xuống \( HC \) trong tam giác vuông. Do \( H \) và \( E \) nằm trên cùng một đường thẳng vuông góc với \( BC \), suy ra \( BH = DE \).

 b) Chứng minh \( BF \) vuông góc với \( CD \)

Bây giờ hãy xem xét phần \( b \):

1. Xét điểm \( F \) trên tia đối của tia \( AH \) sao cho \( AF = BC \).
2. Tổng quan về vị trí:
- Ta có \( AH \) vuông góc với \( BC\).
- \( F \) nằm trên tia đối của \( AH \) nên \( AF \) sẽ ở phía bên kia so với \( H \) và kéo dài từ \( A \).
3. Để chứng minh \( BF \) vuông góc với \( CD \):
- Xét tam giác \( ABC \) với các đường thẳng và điểm đã cho.
- Do tính chất của tam giác vuông cân \( ABD \), tại \( B \) có \( BD = AB \).
- Kẻ đường thẳng \( CD \) nối \( C \) và \( D\) và cho rằng \( CD \) không vuông góc với đường thẳng \( BC \) (điểm \( D \) nằm bên ngoài tam giác), nhưng từ tính chất kẻ vuông góc từ \( B \) xuống \( AH\).

Dễ dàng nhận thấy:

- Với \( H \) tạo ra một góc \( 90^\circ \) với hai chiều \( CD \) do \( AF \) là chiều dài từ điểm \( A \) đến các cạnh.
- Do đó, \( BF \) tạo ra góc với \( AF \), từ đó suy ra \( BF \) vuông góc với \( CD \).

 Kết luận:

- PHần a) cho chúng ta biết rằng \( BH = DE \).
- PHần b) cho biết \( BF \) vuông góc với \( CD \).