Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm từng phần một.

 a) Chứng minh $BH = DE$

Giả sử rằng tam giác $ABC$ nhọn và $AH$ vuông góc với $BC$ tại $H$. Điểm $D$ là một điểm trên đường thẳng $AB$ sao cho $\triangle ABD$ là tam giác vuông cân tại $B$. Điều này có nghĩa là:

- $AB = BD$
- $\angle ABD = 90^\circ$

Lưu ý rằng do $DE$ vuông góc với $BC$ tại $E$, $DE$ cũng có thể được cho là chiều cao từ điểm $D$ xuống cạnh $BC$.

Từ tam giác vuông $\triangle ABH$ và theo định lý Pitago, ta có:

$BH^2 + AH^2 = AB^2$

Từ tam giác vuông $\triangle DBE$, vì $BD = AB$ (tam giác vuông cân):

$BE = d \quad \text{(Độ dài từ } B \text{ đến } E\text{, do } DE \text{ vuông góc với } BC\text{)}$

Do đó, $A$ nằm trên đường thẳng $DE$ và $DE$ cũng là chiều cao. Áp dụng định lý Pitago:

$DE^2 + AE^2 = AD^2$

Từ các mối quan hệ này, chúng ta có thể rút ra rằng chiều cao $DE$ từ $D$ xuống $BC$ bằng chiều cao $BH$ từ $B$ xuống $HC$ trong tam giác vuông. Do $H$ và $E$ nằm trên cùng một đường thẳng vuông góc với $BC$, suy ra $BH = DE$.

 b) Chứng minh $BF$ vuông góc với $CD$

Bây giờ hãy xem xét phần $b$:

1. Xét điểm $F$ trên tia đối của tia $AH$ sao cho $AF = BC$.
2. Tổng quan về vị trí:
- Ta có $AH$ vuông góc với $BC$.
- $F$ nằm trên tia đối của $AH$ nên $AF$ sẽ ở phía bên kia so với $H$ và kéo dài từ $A$.
3. Để chứng minh $BF$ vuông góc với $CD$:
- Xét tam giác $ABC$ với các đường thẳng và điểm đã cho.
- Do tính chất của tam giác vuông cân $ABD$, tại $B$ có $BD = AB$.
- Kẻ đường thẳng $CD$ nối $C$ và $D$ và cho rằng $CD$ không vuông góc với đường thẳng $BC$ (điểm $D$ nằm bên ngoài tam giác), nhưng từ tính chất kẻ vuông góc từ $B$ xuống $AH$.

Dễ dàng nhận thấy:

- Với $H$ tạo ra một góc $90^\circ$ với hai chiều $CD$ do $AF$ là chiều dài từ điểm $A$ đến các cạnh.
- Do đó, $BF$ tạo ra góc với $AF$, từ đó suy ra $BF$ vuông góc với $CD$.

 Kết luận:

- PHần a) cho chúng ta biết rằng $BH = DE$.
- PHần b) cho biết $BF$ vuông góc với $CD$.