Để tìm điểm mà mặt phẳng \((P)\) cắt trục \(Oz\), ta cần lập phương trình mặt phẳng \((P)\) từ điểm \(A(0, 1, 0)\) và hai véc tơ chỉ phương \( \mathbf{u_1} = (1, 2, 1) \) và \( \mathbf{u_2} = (0, 1, 1) \).

 Bước 1: Tìm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)

Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng có thể được tìm bằng cách lấy tích véctơ của hai véc tơ chỉ phương:

\[
\mathbf{n} = \mathbf{u_1} \times \mathbf{u_2}
\]

Tính tích véctơ:

\[
\mathbf{u_1} = (1, 2, 1)
\]
\[
\mathbf{u_2} = (0, 1, 1)
\]

\[
\mathbf{n} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 1
\end{vmatrix}
\]

= \(\mathbf{i} (2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) - \mathbf{j} (1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) + \mathbf{k} (1 \cdot 1 - 0 \cdot 2)\)

= \((2 - 1)\mathbf{i} - (1 - 0)\mathbf{j} + (1 - 0)\mathbf{k}\)

= \((1, -1, 1)\)

 Bước 2: Lập phương trình mặt phẳng (P)

Mặt phẳng (P) đi qua điểm \(A(0, 1, 0)\) và có véc tơ pháp tuyến \((1, -1, 1)\). Phương trình mặt phẳng có dạng:

\[
n_x (x - x_0) + n_y (y - y_0) + n_z (z - z_0) = 0
\]

Trong đó \((x_0, y_0, z_0) = (0, 1, 0)\) và \((n_x, n_y, n_z) = (1, -1, 1)\):

\[
1(x - 0) - 1(y - 1) + 1(z - 0) = 0
\]

Rút gọn phương trình:

\[
x - y + z = 0
\]

 Bước 3: Tìm điểm cắt với trục Oz

Trục \(Oz\) có tọa độ dạng \( (0, 0, z) \). Thay \(x = 0\) và \(y = 0\) vào phương trình mặt phẳng:

\[
0 - 0 + z = 0
\]

=>

\[
z = 0
\]

 Kết luận

Mặt phẳng \((P)\) cắt trục \(Oz\) tại điểm có cao độ bằng 0.