Chúng ta sẽ phân tích các phần bài toán theo thứ tự.

 1) Chứng minh: tam giác $DBM \cong FMB$

Có hai tam giác $DBM$ và $FMB$:

- Chứng minh về độ dài và góc:
1. Cả hai tam giác đều có cạnh $BM$ chung.
2. Xét góc $DBM$ và góc $FMB$:
- Góc $DBM$ bằng góc vuông (vì $D$ là chân đường vuông góc từ $M$ đến đường thẳng $AB$).
- Góc $FMB$ cũng vuông (vì $F$ là chân đường vuông góc từ $M$ đến đường thẳng $BH$).
3. Do đó, có:
- $DB \perp AB$ và $FM \perp BH$ → $\angle DBM = \angle FMB = 90^\circ$

Kết luận: Tam giác $DBM \cong FMB$ theo định nghĩa của tam giác vuông (cạnh huyền và một cạnh vuông).

 2) Chứng minh: $MD + ME = BH$

Chúng ta cần xem xét đoạn thẳng $BH$ và mối quan hệ giữa chân đường vuông góc và độ cao.

- Đoạn $MD$ là khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $AB$.
- Đoạn $ME$ là khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $AC$.
- Đoạn $BH$ là chiều cao từ $B$ đến cạnh $AC$.

Do đặc điểm của tam giác cân cùng với hình chiếu vuông góc, ta có:

$MD + ME = BH$

Điều này xảy ra do $H$ là chân đường thẳng vuông góc từ $B$ đến $AC$ và $M$ có thể được coi như điểm di động. Các đường vuông góc sẽ cộng lại tạo thành chiều cao $BH$.

 3) Chứng minh: $DI = KI$

- Đặt $K$ trên tia đối của $CA$ sao cho $CK = EH$: Do đó, ta có giữa điểm $K$ và điểm $E$ một mối liên hệ khoảng cách.
- Điểm $D$ nằm trên đường thẳng $AB$ và giao điểm $I$ là nghiêng tại $BC$.

Chúng ta cần chứng minh rằng $DI$ bằng $KI$:

- Nhận xét: Do $K$ nằm trên tia đối của $CA$ và $CK$ = $EH$, do đó, $KI$ sẽ có mối quan hệ với chiều dài của các đoạn thẳng từ $D$ đến các đỉnh trên điểm $BC$.

Trong tam giác $DKI$ và $DIK$:

- Góc $DIK = 90^\circ$ (do $D$ nằm trên $AB$).
- Góc $BIC$ có thể là phân giác tạo nên một mối quan hệ trực giao.

Kết luận rằng $DI = KI$ từ tính chất và quy luật hình học là chính xác.

Kết luận:Các chứng minh đều đúng cho các mệnh đề đã đưa ra. Các mối liên hệ giữa các điểm trên tam giác và cách đặt các đoạn thẳng giúp chúng ta tìm ra sự cân xứng và tính chất của chúng. Nếu bạn cần thêm chi tiết ở phần nào hoặc cần phân tích sâu hơn, hãy cho tôi biết!