Để chứng minh các đoạn đề bài đã nêu, ta sẽ làm từng phần một.

### a. Chứng minh tam giác ABH = tam giác ACH và AH là tia phân giác của góc BAC

1. **Tam giác ABH và ACH**:
- Ta có các yếu tố sau:
- AB = AC (do tam giác ABC là tam giác cân tại A).
- H là trung điểm của BC, nên BH = HC.
- AH là một đoạn thẳng chung.
- Từ các yếu tố trên, ta áp dụng tiêu chí "Hai cạnh và một cạnh kề" (SAS):
- AB = AC.
- AH là chung.
- BH = HC.
- Do đó, ta có:
$\triangle ABH \cong \triangle ACH$
(theo tiêu chí SAS).

2. **AH là tia phân giác của góc BAC**:
- Từ chứng minh trên, ta có $\triangle ABH \cong \triangle ACH$.
- Từ sự đồng nhất này, ta thấy góc BAH = góc CAH, từ đó kết luận rằng AH chính là tia phân giác của góc BAC.

### b. Chứng minh tam giác ADH là tam giác cân khi đường thẳng đi qua điểm H và song song với đường thẳng AC cắt AB tại điểm D

1. **Giả thiết**:
- Đường thẳng đi qua H và song song với AC cắt AB tại D.

2. **Tính chất song song**:
- Vì HD // AC, nên góc AHD = góc ACB (theo tính chất góc so le trong).
- Tương tự, do HD // AC nên góc HDA = góc CAB.

3. **Sử dụng tam giác ABH và ACH**:
- Ta đã có $\triangle ABH \cong \triangle ACH$, từ đó suy ra góc ABH = góc ACH.
- Ta có:
- Góc ABD = góc ACH
- Từ đó, suy ra góc ADB = góc AHD (do cùng một góc AHB ở tại điểm A).

4. **Kết luận về tam giác ADH**:
- Từ việc $\angle AHD = \angle ADB$ và $\angle HDA = \angle HDA$ (cùng 1 góc), ta suy rằng:
- AD = AH.
- Như vậy, với điều kiện này, chúng ta có $AD = AH$, tức là $\triangle ADH$ là tam giác cân (vì hai cạnh AD và AH bằng nhau).

### Kết luận

Từ các chứng minh trên, ta đã khẳng định được các phát biểu trong bài toán:

- Tam giác ABH = tam giác ACH và AH là tia phân giác của góc BAC.
- Tam giác ADH là tam giác cân khi đường thẳng đi qua H và song song với AC cắt AB tại D.