Để giải bài toán này, ta sẽ đặt các biến số cho chiều rộng, chiều dài và chiều cao của chiếc rương.

Gọi chiều rộng là \( w \) (cm).
Chiều dài sẽ là \( l = 2w \) (cm), vì chiều dài gấp đôi chiều rộng.
Chiều cao sẽ là \( h = \frac{l + w}{5} = \frac{2w + w}{5} = \frac{3w}{5} \) (cm).

Diện tích toàn phần của chiếc rương (hình hộp chữ nhật) được tính bằng công thức:

\[
S = 2(lw + lh + wh)
\]

Thay các biến \( l \), \( h \) vào công thức:

\[
S = 2 \left( w(2w) + (2w)\left(\frac{3w}{5}\right) + w\left(\frac{3w}{5}\right) \right)
\]

Bây giờ ta tính từng phần:

1. \( lw = w(2w) = 2w^2 \)
2. \( lh = (2w)\left(\frac{3w}{5}\right) = \frac{6w^2}{5} \)
3. \( wh = w\left(\frac{3w}{5}\right) = \frac{3w^2}{5} \)

Thay vào công thức diện tích:

\[
S = 2 \left( 2w^2 + \frac{6w^2}{5} + \frac{3w^2}{5} \right)
\]

Cộng các thành phần lại với nhau:

\[
2w^2 + \frac{6w^2}{5} + \frac{3w^2}{5} = 2w^2 + \frac{9w^2}{5} = 2w^2 + \frac{9}{5}w^2 = \frac{10w^2}{5} + \frac{9w^2}{5} = \frac{19w^2}{5}
\]

Bây giờ, ta có:

\[
S = 2 \left( \frac{19w^2}{5} \right) = \frac{38w^2}{5}
\]

Biết rằng tổng diện tích là 1250 cm², ta có:

\[
\frac{38w^2}{5} = 1250
\]

Nhân cả hai bên với 5:

\[
38w^2 = 6250
\]

Chia cho 38:

\[
w^2 = \frac{6250}{38} \approx 164.47
\]

Lấy căn bậc hai:

\[
w \approx 12.81 \text{ cm}
\]

Tính chiều dài \( l \) và chiều cao \( h \):

\[
l = 2w \approx 25.62 \text{ cm}
\]
\[
h = \frac{3w}{5} \approx \frac{3 \times 12.81}{5} \approx 7.68 \text{ cm}
\]

Vậy chiều rộng, chiều dài và chiều cao của chiếc rương lần lượt là khoảng \( 12.81 \) cm, \( 25.62 \) cm, và \( 7.68 \) cm.