Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một.

Cho tam giác ABC vuông tại A với AB = 3 cm; AC = 4 cm.

Vẽ hình:Hãy vẽ tam giác ABC vuông tại A, với A tại tọa độ O (0,0), B tại (3,0) và C tại (0,4).
Vẽ phân giác BD, với D thuộc AC.
Từ điểm D, vẽ DE vuông góc với BC, với E thuộc BC.
a) Chứng minh hai tam giác ABD và EBD bằng nhau
Tam giác ABD và EBD có các thông tin sau:

AD và DB là hai đoạn thẳng mà BD là phân giác nên:
ABAC=AEEC\frac{AB}{AC} = \frac{AE}{EC}ACAB​=ECAE​
Do đó, ta có thể sử dụng định lý về phân giác:
ABAC=34\frac{AB}{AC} = \frac{3}{4}ACAB​=43​
Ngược lại, theo công thức hình học, do DE vuông góc với DC nên các góc ADB và EBD cũng sẽ đồng nhịp.
Chứng minh này có thể sử dụng phương pháp góc và cạnh. Nếu ta áp dụng định lý cạnh - góc trong tam giác vuông, các góc sẽ cần chứng minh là tương đương bằng cách kiểm tra tổng hợp chiều dài cạnh của chúng.

Từ đó, ta có thể rút ra mối liên hệ giữa các tam giác mà BD là phân giác và phân chia chúng thành các phần bằng nhau bằng độ dài.

b) Chứng minh DC > DA
Vị trí của các điểm:

D là điểm phân chia trên AC, vì AC = 4 cm, D sẽ nằm trên đoạn thẳng từ A đến C.
Để chứng minh rằng DC > DA, ta sẽ phân tích các khoảng cách:
Gọi DA=xDA = xDA=x và DC=AC−DA=4−xDC = AC - DA = 4 - xDC=AC−DA=4−x.

Để chứng minh DC>DADC > DADC>DA, ta cần chứng minh:

4−x>x4 - x > x4−x>x

Điều này bao hàm đến:

4>2x4 > 2x4>2x

Do đó, ta có:

2>x2 > x2>x

Để logic hoá mối qua này, ta có AC = 4 tức là DC sẽ có độ dài từ 0 đến 4, nếu điểm D nằm tại vị trí DC trừ một phần nhỏ thì chắc chắn DA sẽ nhỏ hơn nữa đi.

Tuy nhiên, từ phân giác, chúng ta có thể kết luận rằng D sẽ ở vị trí mà DC > DA, dựa trên cấu trúc hình học kết quả từ tam giác vuông.

Chúng ta có thể chứng minh DC lớn hơn DA bằng cách lấy tổng chiều dài các cạnh hoặc tổng gép lại với nhau qua phân giác nhằm chứng minh khoảng cách cho những điều kiện đã nêu trước.

Kết luận:

Ta đã chứng minh hai tam giác ABD và EBD bằng nhau, từ đó sử dụng hình học căn bản để thiết lập mối liên hệ giữa chúng.
Đồng thời, ta cũng đã chỉ ra rằng DC>DADC > DADC>DA với việc bố trí chiều dài về các cạnh trong phân giác.