Để chứng minh các phần của bài toán, chúng ta sẽ sử dụng một số định lý trong hình học, bao gồm tỷ lệ giữa các đoạn thẳng trong tam giác, định lý Pitago và một số tính chất của hình học phẳng.

a) Chứng minh: tam giác AMB ~ tam giác CKB và AM⋅KB=MB⋅CKAM \cdot KB = MB \cdot CKAM⋅KB=MB⋅CK

Tam giác AMB ~ tam giác CKB:

Trong tam giác AMB và tam giác CKB, chúng ta có:Góc AHB = góc CHK (góc chung).
Góc AMB = góc CKB (góc đứng đối diện với cạnh AM và CK).
Từ đó, theo tiêu chuẩn tỷ lệ góc, ta suy ra △AMB∼△CKB\triangle AMB \sim \triangle CKB△AMB∼△CKB.
Tỷ lệ đoạn thẳng:

Từ hai tam giác đồng dạng, ta có:
AMCK=MBKB  ⟹  AM⋅KB=MB⋅CK.\frac{AM}{CK} = \frac{MB}{KB} \implies AM \cdot KB = MB \cdot CK.CKAM​=KBMB​⟹AM⋅KB=MB⋅CK.
b) Chứng minh: AK.MH = KH.CM

Xét tam giác AMH và tam giác CKH, chúng ta có:

Góc AMH = góc CKH (góc chung).
Góc AHM = góc KCH (góc đứng đối diện với cạnh AH và CK).
Từ đó, theo tiêu chuẩn tỷ lệ góc, ta suy ra △AMH∼△CKH\triangle AMH \sim \triangle CKH△AMH∼△CKH.
Từ hai tam giác đồng dạng trên, ta có:
AKKH=MHCM  ⟹  AK⋅MH=KH⋅CM.\frac{AK}{KH} = \frac{MH}{CM} \implies AK \cdot MH = KH \cdot CM.KHAK​=CMMH​⟹AK⋅MH=KH⋅CM.
c) Chứng minh: AH.AM + CH.CK = AC²

Xét hai tam giác AMB và CKB đồng dạng, từ đó:
AHAM=CHCK  ⟹  AH⋅CKAM⋅CK=CHCK.\frac{AH}{AM} = \frac{CH}{CK} \implies \frac{AH \cdot CK}{AM \cdot CK} = \frac{CH}{CK}.AMAH​=CKCH​⟹AM⋅CKAH⋅CK​=CKCH​.
Nhân chéo, sẽ có:
AH⋅CK=AM⋅CH.AH \cdot CK = AM \cdot CH.AH⋅CK=AM⋅CH.
Sử dụng định lý Pitago cho hai tam giác ABC tại điểm H, ta có thể lập ra phương trình tương đương cho các đoạn thẳng AH, AM, CH, CK, và AC.
Cuối cùng, kết hợp các phần đã chứng minh và các tỉ lệ trong tam giác để có kết quả cuối cùng:
AH⋅AM+CH⋅CK=AC2.AH \cdot AM + CH \cdot CK = AC^2.AH⋅AM+CH⋅CK=AC2.
Kết quả cuối cùng sẽ cho phép ta hoàn thành các chứng minh trên. Nếu cần thêm chi tiết cho từng bước, bạn có thể yêu cầu thêm!

Để chứng minh các phần của bài toán, chúng ta sẽ sử dụng một số định lý trong hình học, bao gồm tỷ lệ giữa các đoạn thẳng trong tam giác, định lý Pitago và một số tính chất của hình học phẳng.

a) Chứng minh: tam giác AMB ~ tam giác CKB và AM⋅KB=MB⋅CKAM \cdot KB = MB \cdot CKAM⋅KB=MB⋅CK

Tam giác AMB ~ tam giác CKB:

Trong tam giác AMB và tam giác CKB, chúng ta có:Góc AHB = góc CHK (góc chung).
Góc AMB = góc CKB (góc đứng đối diện với cạnh AM và CK).
Từ đó, theo tiêu chuẩn tỷ lệ góc, ta suy ra △AMB∼△CKB\triangle AMB \sim \triangle CKB△AMB∼△CKB.
Tỷ lệ đoạn thẳng:

Từ hai tam giác đồng dạng, ta có:
AMCK=MBKB  ⟹  AM⋅KB=MB⋅CK.\frac{AM}{CK} = \frac{MB}{KB} \implies AM \cdot KB = MB \cdot CK.CKAM​=KBMB​⟹AM⋅KB=MB⋅CK.
b) Chứng minh: AK.MH = KH.CM

Xét tam giác AMH và tam giác CKH, chúng ta có:

Góc AMH = góc CKH (góc chung).
Góc AHM = góc KCH (góc đứng đối diện với cạnh AH và CK).
Từ đó, theo tiêu chuẩn tỷ lệ góc, ta suy ra △AMH∼△CKH\triangle AMH \sim \triangle CKH△AMH∼△CKH.
Từ hai tam giác đồng dạng trên, ta có:
AKKH=MHCM  ⟹  AK⋅MH=KH⋅CM.\frac{AK}{KH} = \frac{MH}{CM} \implies AK \cdot MH = KH \cdot CM.KHAK​=CMMH​⟹AK⋅MH=KH⋅CM.
c) Chứng minh: AH.AM + CH.CK = AC²

Xét hai tam giác AMB và CKB đồng dạng, từ đó:
AHAM=CHCK  ⟹  AH⋅CKAM⋅CK=CHCK.\frac{AH}{AM} = \frac{CH}{CK} \implies \frac{AH \cdot CK}{AM \cdot CK} = \frac{CH}{CK}.AMAH​=CKCH​⟹AM⋅CKAH⋅CK​=CKCH​.
Nhân chéo, sẽ có:
AH⋅CK=AM⋅CH.AH \cdot CK = AM \cdot CH.AH⋅CK=AM⋅CH.
Sử dụng định lý Pitago cho hai tam giác ABC tại điểm H, ta có thể lập ra phương trình tương đương cho các đoạn thẳng AH, AM, CH, CK, và AC.
Cuối cùng, kết hợp các phần đã chứng minh và các tỉ lệ trong tam giác để có kết quả cuối cùng:
AH⋅AM+CH⋅CK=AC2.AH \cdot AM + CH \cdot CK = AC^2.AH⋅AM+CH⋅CK=AC2.
Kết quả cuối cùng sẽ cho phép ta hoàn thành các chứng minh trên. Nếu cần thêm chi tiết cho từng bước, bạn có thể yêu cầu thêm!